查找第K大的值

Posted 2021-03-08 romalzhih

这种题一般是给定N个数，然后N个数之间通过某种计算得到了新的数列，求这新的数列的第K大的值

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POJ3579

题意：

用$N$个数的序列$x[i]$，生成一个新序列$b$。

新的序列定义为：对于任意的$ i$，$j$且 $i != j $有$b[] = abs(x[i] - x[j])$

问新序列的中位数是什么,如果新序列的长度为偶数那么我们定义中位数为排序后第len/2位置的那个数

解法：

相当于问新序列中的第K大的数多少。

注意新数列不可能全都算出来。

二分答案，二分那个第K大的数的值。

$x[i]-x[j] ge mid$

相当于

$x[i] ge mid+x[j]$

然后我们在排序过的原数组中，对每个$a[i]$二分这个$mid$值，统计有多少个值小于它，统计累加所有的值，最后看是不是小于K

代码如下：

 1 int N;
 2 int a[MAXN];
 3 LL M;
 4 
 5 bool C(int t) {
 6     LL cnt = 0;
 7     for (int i = 0; i < N; i++) {
 8         cnt += N - (lower_bound(a + i + 1, a + N, a[i] + t) - a);
 9     }
10     return cnt <= M / 2;
11 }
12 
13 void solve() {
14     sort(a, a + N);
15     M = N * (N - 1) / 2;
16     int ub = a[N - 1] + 1, lb = 0;
17     while (ub - lb > 1) {
18         int mid = (ub + lb) >> 1;
19         if (C(mid)) {
20             ub = mid;
21         } else {
22             lb = mid;
23         }
24     }
25     cout << lb << endl;
26     return;
27 }
28 
29 int main() {
30 #ifndef ONLINE_JUDGE
31     freopen("input.txt", "r", stdin);
32 #endif  // !ONLINE_JUDGE
33     while (~scanf("%d", &N)) {
34         for (int i = 0; i < N; i++) {
35             scanf("%d", &a[i]);
36         }
37         solve();
38     }
39     return 0;
40 }

 

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POJ3685

题意：

有一个$ N*N$ 的矩阵$ A$ ，$A[i][j]=i^2+100000i+j^2-100000j+ij$

求所有矩阵元素中第$ K$ 大的值

解法：

求第$ K$ 大的值，二分答案

首先肯定是二分这个K值是多少，接下来就是验证的问题。

由于$ N*N$ 的值很大，所以我们必须找到它的单调性，那么有以下式子：

$A[i+1][j] = A[i][j] + (2*i + j + 1 + 100000)$（同一列递推式）

$A[i][j+1] = A[i][j] + (2*j + i + 1 - 100000)$ （同一行递推式）

可以发现：在列方向上，矩阵单调递增，而在行方向上上，当$ （2*j + i + 1）> 100000 $ 时，递增，反之递减。

那么我们在每个列方向上直接二分那个$ i$ 值的大小，判断的一句就是$ A[i][j]$ 与假想$ K$ 值的大小关系。

代码如下：

 1 LL N, M;
 2 
 3 LL cal(LL i, LL j) { return i * i + 100000 * i + j * j - 100000 * j + i * j; }
 4 
 5 bool C(LL x) {
 6     LL sum = 0;
 7     for (int j = 1; j <= N; j++) {
 8         LL ub = N + 1, lb = 0;
 9         LL ans = 0;
10         while (ub - lb > 1) {
11             LL mid = (ub + lb) >> 1;
12             if (cal(mid, j) <= x) {
13                 ans = mid;
14                 lb = mid;
15             } else {
16                 ub = mid;
17             }
18         }
19         sum += ans;
20     }
21     return sum >= M;
22 }
23 
24 void solve() {
25     LL ub = LLINF, lb = -LLINF;
26     while (ub - lb > 1) {
27         LL mid = (ub + lb) >> 1;
28         if (C(mid)) {
29             ub = mid;
30         } else {
31             lb = mid;
32         }
33     }
34     cout << ub << endl;
35     return;
36 }
37 
38 int main() {
39 #ifndef ONLINE_JUDGE
40     freopen("input.txt", "r", stdin);
41 #endif  // !ONLINE_JUDGE
42     int T = READ();
43     while (T--) {
44         getchar();
45         scanf("%lld%lld", &N, &M);
46         solve();
47     }
48     return 0;
49 }