「POI 2005」SZA-Template 「失配树」「双向链表」「思维」

Posted 2021-03-08 lim-817

先来观察答案的几个强性质。

首先答案肯定是原串的一个( t{border})，也就是失配树上的一条链。

再进一步观察：比如说答案在原串出现的位置分别为(p_1, p_2, p_3... p_k)（不妨设其严格升序），那么一定有(max (p_i - p_{i-1}) leq length(ans))。

你问我为什么？如果大于的话就接不上了啊...

然后我们发现，只要满足上面那两个条件，那这个串一定就是个合法串。于是我们把这套东西搬到失配树上：

1. 这个串是n在树上的祖先
2. 这个串在树上的子树里所有节点的max_gap (leq) 这个串结尾的下标

问题就变成了怎么维护max_gap.

你发现这个东西维护最靠右边的1，最靠左边的1，答案就可以用线段树合并做到(mathcal{O(n log n)})，但是发现空间有点爆炸。

于是发现，可选的串只在一条链上，所以可以先全加进去，然后再逐步删，就可以用线段树做到(mathcal{O(n log n)})时间，(mathcal{O(n)})空间了。

然后发现这根本不用线段树，因为是逐步删答案只会不断变大，双向链表就可以解决。所以复杂度是(O(n))的。