HDU 6310Counting Permutations

Posted 2021-03-08 asuldb

vjudge

为啥正解和暴力跑的差不多快呢；

考虑对于一个给定序列如何求出(displaystyle sum_{i=1}^nmin(i-l_i,r_i-i))，一个简单的想法就是按照最大值分治，我们找到序列中最大值的位置(x)，那么(x)的贡献就是(min(x,n+1-x))，之后再对([1,x-1])和([x+1,n])分治即可；

不妨按照这个思路进行dp，设(dp_{i,j})表示长度为(i)且(displaystyle sum_{k=1}^imin(k-l_k,r_k-k)=j)的排列有多少个，我们枚举一下最大值的位置(x)，之后从(i-1)里选(x-1)个分到左边，剩下分到右边，算一波最大值的贡献，分治到左右两边解决就好了，转移大概就是这个样子

[dp_{i,j}=sum_{x=1}^isum_{k=x-1}inom{i-1}{x-1} imes dp_{x-1,k} imes dp_{i-x,j-k-min(x,i+1-x)}]

直接写看起来是(O(n^6))的，但我们理性分析一下发现可能没有那么大。

设(F_i)表示长度为(i)的排列的(displaystyle sum_{k=1}^imin(k-l_k,r_k-k))的最大值，(F_i)也可以用按照最大值分治的dp求出来，我们发现(F_n)远没有我们想象的(n^2)级别；理性分析一下，对(F_i)的转移树考虑，发现(min(x,i+1-x))实际上是左右子树中的较小值，于是我们大致可以认为这个复杂度和启发式合并类似，大概是(nlog n)级别，实际上还带一个非常小的常数，当(n=200)时，(F_n)只有(736)。于是上面那个东西直接做的复杂度大概是(O(n^4log^2 n))，暴力卡卡常就已经能过了；

不难注意到(dp_{i})是一个(F_i)次的多项式，证明的话归纳一波就可以；设(G_i(x))表示表示(dp_i)的生成函数，于是有(G_i(x)=displaystyle sum_{j=1}^iinom{i-1}{j-1}G_{j-1}(x)G_{i-j}(x)x^{min(j,i+1-j)})，看起来似乎可以大力fft，但是(O(n^3log^2n))加上巨大常数跑得还没暴力快；fft慢在我们每次都需要DFT过去又IDFT回来，不妨直接将多项式搞成点值的形式，这样中间过程就不需要进行DFT和IDFT，直接点值相乘即可，所以对于每一个(dp_i)维护(0)到(F_n)的点值，最后回答询问的时候直接拉格朗日插值回去就能得到系数了；

复杂度是(O(n^3log n+Tn^2log^2 n))，卡卡常才能跑得比暴力快；

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int maxn=201;const int maxw=741;
int mod,lm[maxn],fac[maxw],ifac[maxw],N[11],M[11],T,inv[maxw];
int pw[maxw][maxw],dp[maxn][maxw],lim,cnt,g[maxw],h[maxw],ans;
inline int dqm(int x) {return x<0?x+mod:x;}
inline void upd(int &x,int y) {x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
inline void Lagrange(int n,int m) {
    if(!n) {puts("1");return;}
    memset(g,0,sizeof(g));g[0]=1;ans=0;
    for(re int i=0;i<=lm[n];++i) 
        for(re int j=i;j>=0;--j) {
            upd(g[j+1],g[j]);
            g[j]=1ll*(mod-i)*g[j]%mod;  
        }
    for(re int i=0;i<=lm[n];++i) {
        if(!dp[n][i]) continue;
        int v=1ll*ifac[i]*ifac[lm[n]-i]%mod*dp[n][i]%mod;
        if((lm[n]-i)&1) v=(mod-v)%mod;
        for(re int j=1;j<=lm[n];++j) h[j]=1ll*dqm(h[j-1]-g[j])*inv[i]%mod;
        upd(ans,1ll*h[m]*v%mod);
    }
    printf("%d
",ans);
}
int main() {
    scanf("%d",&mod);fac[0]=inv[1]=ifac[0]=pw[0][0]=1;int x,y;
    while(scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF) N[++T]=x,M[T]=y,lim=max(lim,N[T]);
    for(re int i=1;i<=lim;++i)  
        for(re int j=1;j<=i;++j) lm[i]=max(lm[i],lm[j-1]+lm[i-j]+min(j,i+1-j));
    cnt=lm[lim];
    for(re int i=1;i<=cnt;i++) {
        pw[i][0]=1;
        for(re int j=1;j<=cnt;++j) pw[i][j]=1ll*pw[i][j-1]*i%mod; 
    }
    for(re int i=1;i<=cnt;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(re int i=2;i<=cnt;++i)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(re int i=1;i<=cnt;++i)ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
    for(re int i=0;i<=cnt;++i)dp[0][i]=1;
    for(re int i=1;i<=lim;i++) {
        for(re int j=1;j<=((i+1)>>1);++j) {
            int t=min(j,i+1-j),v=1ll*ifac[j-1]*ifac[i-j]%mod;
            if(j-1!=i-j)upd(v,v);
            for(re int k=0;k<=cnt;k++) 
                upd(dp[i][k],1ll*dp[j-1][k]*dp[i-j][k]%mod*pw[k][t]%mod*v%mod);
        }
        for(re int k=0;k<=cnt;++k) dp[i][k]=1ll*dp[i][k]*fac[i-1]%mod;
    }
    for(re int i=1;i<=T;++i) {
        if(M[i]>lm[N[i]]||M[i]<N[i]) puts("0");
        else Lagrange(N[i],M[i]);
    }
    return 0;
}