理解：时间序列的平稳性

Posted 2021-03-08 ev2020

为什么要平稳？

研究时间序列的最终目的是，预测未来。但是未来是不可知的，我们拥有的数据都是历史，因此只能用历史数据来预测未来。但是，如果过去的数据与未来的数据没有某种“相似度”，那这种预测就毫无道理了。平稳性就是保证这种过去与未来的相似性，如果数据是平稳的，那么可以认为过去的数据表现出的某些性质，未来也会表现。

 

什么是严平稳？

对于一个时间序列{X_t}，其中每个数据X都是随机变量，都有其的分布（如图）。

 

 

 

 

 

 

取其中连续的m个数据，X₁到X_m，则可以构成一个m维的随机向量，(X₁,X₂,...,X_m)

由于单独的每个随机变量X都有各自的分布，那么组合成一个m维随机向量后，这个多维向量整体就有一个“联合分布”。

严平稳的本质就是，这种联合分布不随着时间的推移而变化。

也就是说，取数据时，任意连续取出的m个数据（无论是从X₁取到X_m，还是从X_t取到X_t+m），他们组成的多维向量的联合分布都是相同的。

此时，再放宽一个条件，让这个m的取值也任意。

即无论这取数据的窗口设定为多宽，只要连续取相同数目个数据，他们构成的联合分布都是相同的。

比如，(X₁,X₂,X₃)与（X₆,X₇,X₈）有相同的3维联合分布，(X₁,X₂,X₃,X₄)与（X₆,X₇,X₈,X₉）有相同的4维联合分布。

综上，符合上述性质的时间序列，是严平稳的。

 

有了严平稳为什么还要有宽平稳？

很多情况下，我们无从得知这些随机变量的分布到底是什么样子。

我们观测得到的数据，只是服从某种未知分布的随机变量的一种取值。

既然连单个随机变量的分布都难以求出，就更不用说求由一堆随机变量组成、多维随机向量的联合分布有多困难了。

因此严平稳虽然是一种保证过去与未来的数据“相似”很棒的方式，但过于理想化，实际上很难检验一个时间序列的严平稳性。

于是只能放宽条件，因而产生了“宽平稳”的概念。

 

什么是“k阶矩”？

“矩”是随机分布的一种特征数。特征数，顾名思义，反映了一个随机分布的某种特征。比如“数学期望”反映了，符合某种分布的随机变量的取值，总是在某个值周围波动；而“方差”则反映了，这种波动的大小程度。

矩分为原点矩和中心矩，其中一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差。

但是这两者之间有相互推导的公式，知其一就可推其二，因此一般只称为矩。

其中，随机变量的k阶原点矩的定义为，随机变量的k次方的数学期望，即E(X^k)。平时所说的“k阶矩存在”，就表现为这个数学期望不是无穷（也就是小于无穷），这与“极限存在”的定义是同理的。

值得注意的是，如果一个随机变量的某高阶矩存在，那么比起阶数更低的矩也一定存在。因为|X|^k-1≤|X|^k+1。

严平稳中由于联合分布相同，故各阶矩也相同。

 

什么是宽平稳？

当时间序列满足三个条件时，就被称为是宽平稳的。

第一个条件是，任意时刻二阶矩都存在。