向量运算中的系数拆分技巧

Posted 2021-03-08 wanghai0666

前言

向量运算中的系数拆分技巧

典例剖析

题组2-1设(O)在(Delta ABC)内部，且有(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，则(Delta ABC)的面积与(Delta AOC)的面积之比为多少？

分析：由题目可知(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，

将其系数做恰当的拆分得到，((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC})+2(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})=vec{0})，

如图即(2overrightarrow{OD}=-4overrightarrow{OE})，即(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE})，

即可知点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

理由如下：以(OA)和(OC)为邻边做平行四边形(AOCG)，则点(D)为(AC)的中点，

同理，点(E)为(BC)的中点，则可知(DE)为中位线，又(overrightarrow{OD}=-2overrightarrow{OE})，

则(O、D、E)三点共线，故点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(DE)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

令点(B)到边(AC)的高线为(h)，则过点(E)和边(AC)平行的直线必然会平分高线(h)，

又由于点(O)是(DE)的三等分点之一，故( riangle AOC) 的高为(cfrac{h}{2})的(cfrac{2}{3})，

则(S_{Delta ABC}=cfrac{1}{2}cdot ACcdot h)，(S_{Delta AOC}=cfrac{1}{2}cdot ACcdot cfrac{h}{2}cdot cfrac{2}{3}=cfrac{1}{3}cdotcfrac{1}{2}cdot ACcdot h)，

故(Delta ABC)的面积与(Delta AOC)的面积之比为3。

【反思总结】：线段等分点的向量给出方式，

二等分点(中点)：(overrightarrow{OA}=-overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，则点(O)是(AB)的中点；

三等分点：(overrightarrow{OA}=-2overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，则点(O)是(AB)的靠近(B)的三等分点；

四等分点：(overrightarrow{OA}=-3overrightarrow{OB})，或(overrightarrow{OA}+3overrightarrow{OB}=overrightarrow{0})，则点(O)是(AB)的靠近(B)的四等分点；

题组2-2设(O)在(Delta ABC)内部，且有(overrightarrow{OA}=2overrightarrow{BO}+3overrightarrow{CO})，延长(BO)交(AC)于点(D)，则(cfrac{S_{Delta COD}}{S_{Delta AOD}})的值为【B】

$A.cfrac{2}{3}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.cfrac{3}{4}$

分析：由题目可知(overrightarrow{OA}+2overrightarrow{OB}+3overrightarrow{OC}=vec{0})，

将其系数做恰当的拆分得到，((overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC})+2(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})=vec{0})，

如图即(2overrightarrow{OF}=-4overrightarrow{OE})，即(overrightarrow{OF}=-2overrightarrow{OE})，

即可知(E、O、F)三点共线，且点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(EF)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

理由如下：以(OA)和(OC)为邻边做平行四边形(AOCG)，则点(F)为(AC)的中点，

同理，点(E)为(BC)的中点，则可知(EF)为中位线，又(overrightarrow{OF}=-2overrightarrow{OE})，

则(E、O、F)三点共线，故点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(EF)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

此时连结(BE)，由点(O)是( riangle BCF)的重心可知，延长(BO)交(AC)于点(D)，

则点(D)必是边(CF)的中点，即(CD=DF)，则(AD=2DF=3CD)，

过点(O)作(AC)的垂线段，设其高为(h)，

由同高不同底可得，(cfrac{S_{Delta COD}}{S_{Delta AOD}}=cfrac{cfrac{1}{2}cdot CDcdot h}{cfrac{1}{2}cdot ADcdot h}=cfrac{1}{3})

【解后反思】当题目告诉(overrightarrow{OA}=2overrightarrow{BO}+3overrightarrow{CO})，则有结论：

①(E、O、F)三点共线，点(O)一定在(Delta ABC)的中位线(EF)上，且在中位线上靠近点(E)的三等分点处。

②延长(BO)交(AC)与点(D)，则点(D)是(CF)的中点。

③三等分点出现，常常和三角形的重心，三角形边的中点等联系起来，

题组2-3设(P)在(Delta ABC)内部，且有(overrightarrow{AP}=cfrac{1}{2}cdot overrightarrow{AB}+cfrac{1}{3}cdotoverrightarrow{AC})，则(cfrac{S_{Delta ABP}}{S_{Delta ABC}})的值为【B】

$A.cfrac{2}{3}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.cfrac{1}{2}$ $D.cfrac{3}{4}$

分析：如图，点(E)，(F)分别是边(AB)，(AC)的二等分点和三等分点，作平行四边形(AEPF)，延长(AP)交(BC)于点(D)，

则由图可知，( riangle ABP)的高(PM)与( riangle ABC)的高(CN)的关系为(CN=3PM)，

故由同底不同高可知，(cfrac{S_{Delta ABP}}{S_{Delta ABC}}=cfrac{cfrac{1}{2}cdot PMcdot AB}{cfrac{1}{2}cdot CNcdot AB}=cfrac{1}{3})

引申：且可知(3BD=2CD)。

题组2-4【三角形重心的给出方式】若已知(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=2overrightarrow{AE})，或者(overrightarrow{AE}=cfrac{1}{2}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}))，则可知点(E)为(BC)的中点；

已知(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=3overrightarrow{AD})，则(3overrightarrow{AD}=2overrightarrow{AE})，则(overrightarrow{AD}=cfrac{2}{3}overrightarrow{AE})，可知点(D)为( riangle ABC)的重心；

例7【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在( riangle ABC)中，内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，(AD)为(angle BAC)的平分线，且满足(4overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+3overrightarrow{AB})，(|overrightarrow{AD}|=sqrt{3})，若(4c+a=8)，求(a)，(b)，(c)的值；

分析：由(4overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+3overrightarrow{AB})，可得(3overrightarrow{AD}-3overrightarrow{AB}=overrightarrow{AC}-overrightarrow{AD})，

即(3overrightarrow{BD}=overrightarrow{DC})，即(|CD|=3|BD|)，又(4c+a=8)，

则(a=8-4c=|BC|)，(|BD|=cfrac{1}{4}|BC|=2-c)，(|CD|=6-2c)，

又由于(AD)为(angle BAC)的平分线，由角平分线定理可知，

(cfrac{BD}{CD}=cfrac{AB}{AC}=cfrac{1}{3})，故(|AC|=3c)，

在( riangle ABD)与( riangle ACD)中，分别对(angle BAD)和(angle DAC)用余弦定理可得，

(cfrac{3+c^2-(2-c)^2}{2 imes sqrt{3}c}=cfrac{3+(3c)^2-(6-3c)^2}{2 imes sqrt{3} imes 3c})

解得(c=cfrac{5}{4})，(b=cfrac{15}{4})，(a=3)。

解后反思：本题目需要特别注意向量系数的拆分技巧；