lecture 2

Posted 2021-03-08 eleni

1. Gradient Descent包含两种方法

a) Batch Gradient Descent

replace the gradient with the sum of gradient for all sample and continue untill convergence

convergence的意思是??稳定下来

b) Stochastic Gradient Descen

repeat this algorithm until convergence

区别在于第一个对所有项进行计算直至convergence；第二个??在任何样本中均会更新，计算量减少但是有可能找不到minimum

相同处在于可以为参数??i随意选取初始值，但是learning rate ??的选取要非常小心，因为较小的值会使算法过慢，较大的值会使算法无法收敛（??介于0，1之间）

2. gradient descent是一种迭代算法，可用来使成本函数J(??)最小化。也可以通过对(??)求导并将其设置为0从而找到其最小值，这种方法称为exact or closed-form solution

注意一定要在第一列加上一列1，称之为intercept parameter(拦截参数)

 

 3. 将input variable x与output variable y的关系表示为: 

其中??j是一个误差项，可能是由于未建模或随机噪音造成的，假设??js是独立的，且根据高斯分布(Gaussian distribution)具有相同的分布(i.i.d.), 如下图所示，p(??j)表示错误发生的概率

 

因此我们要估算??以简化，在m个训练样本中最大化在给定input x的情况下得到output y的可能性

称作likelihood function

由于我们假设??具有独立性，故而我们的training samples也是彼此独立的；基于此假设我们可以进一步改写

  

现在我们需要得到使?(??)最大化的??，这被称为maximum likelihood

为找到使?(??)最大的??，我们可以转而计算log?(??)

 

4. linear regression assumptions

linearity: x与the mean of y之间的关系是线性的

homoscedasticity: 残差的方差对于任何值x都是相同的

independence: 观察彼此独立

normality: 对任意固定值x，y呈正态分布(normally distributed)

5. probability与statistics区别

probability： based on whole population，对整体进行分析从而得到个体的可能性(deductive reasoning演绎推理)

statistics：based on samples to predict the whole population(inductive reasoning归纳推理)

6. sampling时需要没有无法计算的误差，同一类型的样本不需要重复选择

7. estimation估算

estimation是指根据从样本中获得的信息推断总体的过程

好的估值：样本的均值等于总体的均值

8. mean即平均值，如果我们可以求得每个数据出现的次数，我们可以将每个数据与其出现频率相乘以简便运算

9. variance即方差，衡量一组随机数与平均值之间的差值

 

10. covariance and correlation协方差和相关性

 

 

11. correlation介于1与-1之间，表示变量x与y之间是否存在关联；仅当x与y大致呈线性关联时，相关才适用。如出现下图中间所示的情况，视为undefined

 

注意correlation仅仅表示相关性，不能说x导致y

12. univariate linear regression单变量线性回归（仅有一个变量）

 

??1：y的变化伴随着x的变化，若x被设置成随机数，??1可以估算出随着x的改变y的变化；若x不是随机数，则y的变化将包括x的变化以及由于将x改变1个单位而可能发生的任何其他混淆变量

 ??1=0意味着x y之间没有linear relationship

已知将常量添加到所有x值将仅影响截距，而不影响回归系数；因此我们可以通过减去x使x值位于0，此时截距等于y；或者我们可以从所有y值中减去y使得截距为0(intercept)

13. multiple regression中使用矩阵表示可以更好地表示回归方程的表达式

14. linear regression也可以表示curve shapes

 

 

15. regularisation: 正则化是通过对权重向量施加附加约束来避免过度拟合(overfitting)的通用方法；常用方法是确保权重的平均值较小，这被称作shrinkage

结合前文cost minimization中的regression，可以将penalty加入到cost function中，迫使系数缩小到0

 

16. train data: 用于学习model及其参数的数据，as mush as possible

validation data: 用于调整模型参数时对train data上的模型拟合进行无偏差评估的数据

test data: 用来测试模型的模型，展示模型的generalizes，该模型的标签未知

17. 理性情况下，我们希望在test set上得到与validation set相同的性能，这称作generalization；generalization是指模型适应新的、从前看不见的数据的能力，这些新数据是从用于创建模型的分布相同的分配中提取的

18. 

 

19. RMSE的绝对值并不能说明模型有多糟糕，它只能用于两个模型之间的比较；adjusted R-squared可以用来说明模型的质量，但是如果只关心预测准确性的话，RMSE是最好的，更易于区分

20. local regression: use kNN to form a local approximation to f for each query point Xq using a linear function of the form

 

 

distance function: