第二类斯特林数

Posted 2021-03-08 chdy

斯特林数主要是研究 小盒放球的方案数问题。

定义：第二类斯特林数S(n,m)表示将n个不同的小球放在m个相同的盒子的方案数。

朴素的求法：S(n,m)=S(n-1,m-1)+mS(n-1,m)

当然可以容斥：注意 要使用容斥这里需要把m个盒子看成相同的 再最后乘上(m!)表示各个盒子都是不同的。

于是显然有 (ans=frac{1}{m!}sum_{k=0}^{m}(-1)^kC(m,k)(m-k)^n)

性质：(n^k=sum_ { i=0}^k S(k,i)×i!×C(n,i)) 挺好理解的不再赘述。

(n^m=sum_{k=0}^m egin{Bmatrix} m \\k end{Bmatrix} n^{underline k})

这个是由性质简单变形得来的。

放一个地址某位dalao的神仙反演