疯子坐飞机问题

Posted 2021-03-08 jun10ng

题目

100人坐飞机，每个人按照编号入座，但第一个人在座位中随便选一个坐下，第100人正确坐到自己坐位的概率是？

他们分别拿到了从1号到100号的座位，这些乘客会按号码顺序登机并应当对号入座

如果他们发现对应号座位被别人坐了，就会在剩下空的座位随便挑一个坐．

现在假设1号乘客疯了（其他人没疯），他会在100个座位中随便选一个座位坐下，问：第100人正确坐到自己坐位的概率是多少？（也可推广到n名乘客n个座位的情况）

解析

无法理解的，可以看下这个博文：https://blog.csdn.net/JKdd123456/article/details/99714714,内有推到
n=1，p(1)=1,
n=2,p(2)=1/2+0=1/2;
n=3,p(3)=1/3+p(2)*1/3=1/2; 发现没有，是一个规模逐渐变大的疯子问题，所以n=多少时都是1/2

1.疯子坐对了

问题结束，所有人都可以坐对位置。

2.疯子坐错了，但并没有占据最后一个人的位置

假设疯子坐在了 k 号位置（1<k<n），那么从 2到 k-1 号都可以坐对位置，这个时候 k 号乘客进来了。他看到自己的位置被占了，于是重新选择一个位置就座。

注意！

也就是说，在这种情况下，除了 n 变小了，这个问题依然是一个疯子问题！只是 n 变成了 n-k+1 ，而这个第 k 号乘客就是新的「疯子」；而对于每一个疯子，他坐对的位置都是第一个疯子的那个位置。

3.疯子坐错了，而且坐在了最后一个人的位置上

问题结束，最后一个人不能坐在自己的位置上。

所以，第二个选项是无效的，它只是把问题中的n变小了，实质上等于没有做任何选择；且这个过程要么结束，要么会变成 n=2 的情况，这个情况下没有选项 2。

而只有 1 和 3 两个等概率的选项决定了最终结果，它们的概率分别为二分之一。

因此答案是二分之一。

其实这个问题还可以更简单。注意到在中间，如果任何一个随机选座位的人坐到了第一个疯子的位置，那么后边的所有人——当然包括最后一个人——就可以坐对。

因此最后一个人的位置只有两种可能：第一个疯子的，他自己的。

这两个位置又没有什么区别，也就是说在各种情况下都是对称的，所以它们的概率相等。

如果还是有问题，下边这个模型你一定能明白。

考虑一枚硬币，正面向上的概率为 1/n ,反面也是，立起来的概率为 (n-2)/n 。我们规定硬币立起来重新抛，但重新抛时，n会至少减小1。求结果为反面的概率。

这样很显然结果为 1/2 。而「正面向上」对应的是下一个疯子坐最后一个人的座位（选项 I）；「反面向上」对应下一个疯子坐对的情况（选项 III ）；「立起来」则对应坐在中间的情况（选项 II）。