快速幂（Quick pow）

Posted 2021-03-08 cnxz

Quick pow is very important and basics.

法一（递归法）：

先举个栗子：

求2 ^10？

我们将它分为下面五步：

1. 2^10 = 2^5 * 2^5
2. 2^5 = 2 * 2^4
3. 2^4 = 2^2 * 2^2
4. 2^2 = 2^1 * 2^1
5. 2^1 = 2 * 2^0

总的来说就是：

1）当b是奇数时，那么有 a^b = a * a^*(b-1)

2）当b是偶数时，那么有 a^b = a^(b/2) * a^(b/2)

于是，我们可以写出如下快速幂递归代码：

typedef long long ll;
ll quickPow(ll a, ll b, ll m)
{
    if(b == 0) return 1;
    else if(b&1) return a*quickPow(a,b-1,m)%m;
    else
    {
        ll num = quickPow(a,b/2,m)%m; //优化 
        return num*num%m;// or直接写成：return binaryPow(a,b/2,m)%m*binaryPow(a,b/2,m)%m%m
    }    
}

法二：（迭代法）

对于 a ^ b来说，若果把 b 写成2 进制，那么b 就可以写成若干二次幂之和，如13 的二进制 1101，于是3 号位 、2号位、0号位就都是1，那么就可以得到13 = 2^3 + 2^2 + 2^0 = 8 + 4 + 1。所以a ^13 = a^8 * a^4 * a^1。

通过同样的推导，我们可以把任意的a^b 表示成 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1中若干的乘积。若果二进制的i号位为1.那么想中的a^(2^i)就被选中。于是可以得到计算a^b的大致思路：令i 从0到k枚举b的二进制的每一位，如果为1 那就累计a^(2^i)。

注意 a^(2^k)……、a^8、a^4、a^2、a^1前一项总是等于后一项的平方。具体步骤。

（1）初始令ans = 1,用来存放累积的结果。

（2）判断b的二进制末尾是否为1，（及判断 b&1 是否为 1），也可以理解为判断b 是否为奇数。如果是的话，令ans乘上a的值。

（3）令a平方，并使b右移一位，（也可以理解为，b/2）

（4）只要b 大于0，就返回（2）。

typedef long long ll
ll binaryPow(ll a, ll b, ll m){
    ll ans = 1;
    while(b > 0)
　　 {
        if(b & 1)
　　　　　{
            ans = ans * a % m;
　　　　　}
        a = a * a % m;
        b >> = 1; 
    } 
    return ans;
}