分组求和法

Posted 2021-03-08 wanghai0666

前言

适用范围

把数列中的每一项都能拆分成两项或者几项之代数和，然后有效分组[比如所有奇数项为一组，所有偶数项为另一组]，转化为等差求和或等比求和类型，或能知道求和公式[不一定是等差或等比]的类型；

比如数列({a_n})的通项公式为(a_n=(2n-1)+cfrac{1}{3^n})，此时需要我们具备将数列竖行看的能力；

[a_1=(2 imes1-1)quad+quadcfrac{1}{3^1}]

[a_2=(2 imes2-1)quad+quadcfrac{1}{3^2}]

[ cdotsquad,quadcdots ]

[a_n=(2 imes n-1)quad+quadcfrac{1}{3^n}]

[quadquadquadquadquadUparrow 此列等差quadquadUparrow 此列等比]

相关公式

①等差数列的(S_n=cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+cfrac{n(n-1)cdot d}{2})

②等比数列的(S_n=left{egin{array}{l}{na_1，q=1}\{cfrac{a_1cdot (1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q eq 1}end{array} ight.)

③(1+2+3+cdots+ n=cfrac{n(n+1)}{2})；

④(1+3+5+cdots +(2n-1)=cfrac{[1+(2n-1)]cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑤(2+4+6+cdots +2n=cfrac{(2+2n)cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑥(1^2+2^2+3^2+cdots+ n^2=cfrac{ncdot (n+1)cdot (2n+1)}{6})；

⑦(1^3+2^3+3^3+cdots+ n^3=[cfrac{n(n+1)}{2}]^2)；

⑧由(a_{n+2}-a_n=2)可知，数列中奇数项成等差，公差为(2)；偶数项成等差，公差为(2)；

⑨由(cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2)可知，数列中奇数项成等比，公比为(2)；偶数项成等比，公比为(2)；

运算技巧

①指数运算：

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}cdot 2=2^{-n}$；

$2^ncdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}=frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}cdot 2^n=2^{2n+1};$

②利用等差数列求项数：

由(a_n=a_1+(n-1)cdot d)，可得项数(n=cfrac{a_n-a_1}{d}+1)，推广得到项数(n=cfrac{a_n-a_m}{d}+m)，

如数列(2^1，2^3，2^5，cdots ，2^{2n-1})的项数的计算，其项数可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，

项数(r=cfrac{a_n-a_1}{d}+1=cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n)；