错位相减求和法

Posted 2021-03-08 wanghai0666

前言

等比数列的前(n)项的求和公式的推导方法，就是错位相减求和法。

适用范围

①等比数列[基本]；

②差比数列[拓展]；错位相减求和法适用于由等差数列({a_n})和等比数列({b_n})对应相乘得到的差比数列({a_ncdot b_n})；比如有题目给定一个数列({cfrac{n}{2^n}})，我们先将其适当变形为({ncdot (cfrac{1}{2})^n})，则可以看出其第一个因子数列(a_n=n)就是个等差数列，第二个因子数列(b_n=(cfrac{1}{2})^n)就是个等比数列；故数列({a_ncdot b_n})就是差比数列$；

• 如何判断一个数列是等差还是等比数列？

①学会将所给的数列的通项公式找出来；

②从函数的角度看，若数列是关于(n)的一次型函数，则此数列一定为等差数列；

③从函数的角度看，若数列是关于(n)的指数型函数，则此数列一定为等差数列；

引例求和：(S_n=1cdot2+2cdot2^2+3cdot2^3+cdots+ncdot2^n)；

分析：认真观察此数列，把数列的每一项由乘号分隔开，都人为的拆分为两项，

每一项的第一个因子构成数列为(1)，(2)，(3)，(cdots)，(n)，是个等差数列，

每一项的第二个因子构成数列为(2)，(2^2)，(2^3)，(cdots)，(2^n)，是个等比数列，

故上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法；

或者你的函数知识掌握的不错的话，则一眼就能认出来其通项公式为(ncdot 2^n)，故其第一个因子数列(a_n=n)就是个等差数列，第二个因子数列(b_n=2^n)就是个等比数列；故
上述求和是个差比数列求和，应该使用错位相减求和法，

相关公式

①等差数列的(S_n=cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+cfrac{n(n-1)cdot d}{2})

②等比数列的(S_n=left{egin{array}{l}{na_1，q=1}\{cfrac{a_1cdot (1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q eq 1}end{array} ight.)

③(1+2+3+cdots+ n=cfrac{n(n+1)}{2})；

④(1+3+5+cdots +(2n-1)=cfrac{[1+(2n-1)]cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑤(2+4+6+cdots +2n=cfrac{(2+2n)cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑥(1^2+2^2+3^2+cdots+ n^2=cfrac{ncdot (n+1)cdot (2n+1)}{6})；

⑦(1^3+2^3+3^3+cdots+ n^3=[cfrac{n(n+1)}{2}]^2)；

⑧由(a_{n+2}-a_n=2)可知，数列中奇数项成等差，公差为(2)；偶数项成等差，公差为(2)；

⑨由(cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2)可知，数列中奇数项成等比，公比为(2)；偶数项成等比，公比为(2)；

廓清认知

• 求和第一步： 欲求和，先认清数列的通项公式，以(a_n)为“抓手”。

如数列(1)，(cfrac{1}{1+2})， (cfrac{1}{1+2+3})，(cdots)，(cfrac{1}{1+2+3+cdots+n})求和时，

必须首先认识到通项公式：(a_n=cfrac{1}{1+2+3+cdots+n})，

• 求和第二步：认清结构，合理选择恰当的方法，

典例剖析

例1求和(S_n=1cdot2+2cdot2^2+3cdot2^3+cdots+ncdot2^n)；

分析:首先认清求和的数列的通项公式(a_n=ncdot2^n)，是个差比数列，其中等比数列的公比为(2)，

下来按部就班的使用“错位相减法”求和就成了。解如下：

(S_n=1cdot2+2cdot2^2+3cdot2^3+cdots+ncdot2^n) (quadquadquadquadquadquadquadquadquad(1))

(2S_n=1cdot2^2+2cdot2^3+cdots+(n-1)cdot2^n+ncdot 2^{n+1}) (quadquadquadquad(2))

具体的错位方法如下图说明：

错位相减法图示

$S_n=$	$1cdot 2+$	$2cdot 2^2+3cdot 2^3+cdots+ncdot 2^n$
$2S_n=$		$1cdot 2^2+2cdot 2^3+cdots+(n-1)cdot 2^n$	$+ncdot2^{n+1}$
第一部分，有1项	第二部分，有1项	第三部分，有$n-1$项	第四部分，有1项

(1)-(2)得到：

(-S_n=1cdot2+[1cdot2^2+1cdot2^3+cdots+1cdot2^n]-ncdot2^{n+1}) (quadquadquadquadquadquad(3))

再次整理为

(-S_n=cfrac{2cdot(1-2^n)}{1-2}-ncdot2^{n+1}) (hspace{4cm}) (quadquadquadquadquadquadquadquadquad(4))

最后整理为

(S_n=(n-1)cdot2^{n+1}+2)

对应练习

练3【2018安徽淮南一模】已知数列({a_n})为等差数列，且(a_3=5)，(a_5=9)，数列({b_n})的前(n)项和为(S_n=cfrac{2}{3}b_n+cfrac{1}{3})，

(1).求数列({a_n})和({b_n})的通项公式；

提示：(a_n=2n-1)，(b_n=(-2)^{n-1})；

(2).设(c_n=a_ncdot |b_n|)，求数列({c_n})的前(n)项和(T_n)；

提示：(c_n=(2n-1)2^{n-1})，(T_n=(2n-3)2^n+3)；

练4已知等比数列({a_n})的各项都为正数，且当(nge 3)时，(a_4cdot a_{2n-4}=10^{2n})，则数列(lga_1)，(2lga_2)，(2^2lga_3)，(2^3lga_4)，(cdots)，(2^{n-1}lga_n)的前(n)项和(S_n)等于_________。

提示：(a_n=10^n)，通项(b_n=2^{n-1}lga_n=ncdot 2^{n-1})，差比数列，(S_n=(n-1)cdot 2^n+1)；