聊一聊粗糙集

Posted 2021-03-07 gedanke

本节我们将继续介绍粗糙集有关的概念。

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本节将介绍经典粗糙集中粒度的度量相关概念。
我们依旧使用这个决策信息系统为例。

(U)	(a)	(b)	(c)	(e)	(f)	(d)
1	0	1	1	1	0	1
2	1	1	0	1	0	1
3	1	0	0	0	1	0
4	1	1	0	1	0	1
5	1	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	1	0
7	0	1	1	1	1	0
8	1	0	0	1	0	1
9	1	0	0	1	0	0

知识粒度

知识粒度定义如下：
给定一个决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(U)为论域，若(B subseteq C)，(U/B={X_{1},X_{2},...,X_{m}})，共有(m)个等价类，则(B)的知识粒度(GP_{U}(B))为:
[ GP_{U}(B)=sum_{i=1}^{m} frac{|X_{i}|^2}{|U|^2} ]
在粗糙集中，等价类的粒度越细，其划分能力就越强，近似集越精确；否则划分能力就弱，近似集越粗糙。
其中，(frac{1}{|U|} leq GP_{U}(B) leq 1)。当(U/B={X_{1},X_{2},...,X_{|U|} })，(|U|)是(U)元素的个数，此时知识粒度最小(frac{1}{|U|})，划分能力最强；当 (U/B={U})，此时知识粒度最大(1)，划分能力最弱。

例如，在上表中：
[ U/C={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8,9}} ]
则(C)的知识粒度为：
[ GP_{U}(C)=sum_{i=1}^{5}frac{|X_{i}|^2}{|U|^2} ]

[ = frac{1^2+2^2+2^2+2^2+2^2}{9^2} ]

[ = frac{17}{81} ]

相对知识粒度的定义如下：
给定一个决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(U)为论域，若(P,Q subseteq A)，(U/P={X_{1},X_{2},...,X_{m} })，(U/Q={Y_{1},Y_{2},...,Y_{n} })。则(Q)关于(P)的相对知识粒度为
[ GP_{U}(Q mid P)=GP_{U}(P)-GP_{U}(P igcup Q) ]

例如，在上表中，考虑条件属性集(C)，决策属性集(D)，有
[ U/C={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8,9} } ]

[ U/C igcup D={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8},{9} } ]
则(D)关于(C)的相对知识粒度为
[ GP_{U}(D mid C)=GP_{U}(C)-GP_{U}(C igcup D)= ]

[ =frac{17}{81}-frac{15}{81}=frac{2}{81} ]

(GP_{U}(Q mid P))表示(Q)相对于(P)的分类能力。(GP_{U}(Q mid P))值越大，表示(Q)相对于(P)对论域(U)分类能力越强；反之，分类能力越弱。

属性重要度

内部属性重要度定义如下：
给定一个决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(U)为论域，(B subseteq C)，若(forall a in B)。
则属性(a)关于条件属性集(B)相对于决策属性集(D)的内部属性重要度为：
[ Sig_{U}^{inner}(a,B,D)=GP_{U}(D mid B-{a})-GP_{U}(D mid B) ]
以上表为例，考虑属性(a)关于条件属性集(C)相对于决策属性集(D)的内部属性重要度：
[ Sig_{U}^{inner}(a,C,D)=GP_{U}(D mid C-{a})-GP_{U}(D mid C) ]

[ ={ GP_{U}(C-{a})-GP_{U}((C-{a}) igcup D) }-{GP_{U}(C)-GP_{U}(C igcup D)} ]
考虑(C-{a})，({C-{a}} igcup D)。

[ U/(C-{a})={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8,9} } ]

[ U/({C-{a}} igcup D)={{1},{2,4},{3,5},{6,7},{8},{9} } ]
所以
[ Sig_{U}^{inner}(a,C,D)={ frac{17}{81}-frac{15}{81}} - {frac{17}{81}-frac{15}{81} }=0 ]

外部属性重要度定义如下：
给定一个决策信息系统(S=(U,A=Cigcup D,V,f))，(U)为论域，(B subseteq C)，若(forall a in (C-B))
则属性(a)关于条件属性集(B)相对于决策属性集(D)的内部属性重要度为：
[ Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D mid B)-GP_{U}(D mid B igcup {a}) ]
还是以上表为例，若(B={c,e,f})，考虑属性(a)关于条件属性集(B)相对于决策属性集(D)的内部属性重要度：
[ Sig_{U}^{outer}(a,B,D)=GP_{U}(D mid B)-GP_{U}(D mid B igcup {a}) ]

[ ={ GP_{U}(B)-GP_{U}(Bigcup D)} - { GP_{U}(B igcup {a})-GP_{U}((Bigcup {a}) igcup D) } ]
考虑(B)，(Bigcup D)，(B igcup {a})，((Bigcup {a}) igcup D)。
[ U/B={{1},{2,4,8,9},{3,5},{6,7}} ]

[ U/(Bigcup D)={{1},{2,4,8},{9},{3,5},{6,7} } ]

[ U/(B igcup {a})={{1},{2,4,8,9},{3,5},{6,7}} ]

[ U/((Bigcup {a}) igcup D)={{1},{2,4,8},{9},{3,5},{6,7} } ]

所以
[ Sig_{U}^{outer}(a,B,D)={ frac{17}{81}-frac{15}{81}} - {frac{17}{81}-frac{15}{81} }=0 ]

必要属性定义如下：
给定一个决策信息系统(S=(U,A=C igcup D,V,f))，(U)为论域，如果$Sig_{U}^{inner}(a,C,D)>0 (，则称属性)a(是决策信息系统条件属性集)C(相对于决策属性集)D$的必要属性。

特别地，(S)的核属性被定义为
[ Core_{C}(D)={a in C mid Sig_{U}^{inner}(a,B,D)>0 } ]

显然，属性(a)不是核属性。

本文参考了：

• 景运革. 基于知识粒度的动态属性约简算法研究[D].西南交通大学,2017.