CF round 623 Div.1D Tourism 题解

Posted 2021-03-07 axiomofchoice

题目链接：https://codeforces.com/contest/1314/problem/D

大意：
(n) 个顶点的有向图，顶点编号为 (1) 到 (n)，任意两个不同的顶点 (A,B)，都有一条带权有向边 (A ightarrow B)。
Masha想从 (1) 出发走 (k) 条边之后返回 (1)，且不走长度为奇数的环。（某一时刻Masha在 (v)，之后走了经过奇数条路径后回到 (v)，这是不允许的）
问Masha走过的路径权值之和的最小值
（(n le 80)，(kle 10)，边权 (le 10^8)，保证k是偶数）

（不要看位置是D，这题是除了签到题外最简单的题qwq但我还是没做出来）

我首先想到的是广义矩阵乘法，即把矩阵乘法中的乘法换成加法，加法换成最小值（即 (C_{i,j}=min_{k=1}^n (A_{i,k}+B_{k,j}))），这样邻接矩阵的 (k) 次方取 (C_{1,1}) 就是（伪）答案
但是这个答案是允许奇环的，所以比赛时我接下来就不知道在干嘛了

第一种思路是先染色，把点分成两部分，不允许走偶数次到达的点（黑点）和不允许走奇数次到达的点（白点），连接黑黑或白白的边权都设成 inf，这样构造的新的矩阵再 (k) 次方就行了。当时我一算，要至少算 (inom{79}{4}=1502501?) 次矩阵快速幂，每个矩阵快速幂复杂度 (80^2 imes 4=25600)，感觉十分绝望

这个思路的正解其实是把所有点随机染色成黑白，每跑一遍矩快更新一下答案。事实上染色正确的概率是 (dfrac 1 {512})，跑个几千次完全没问题（果然我还没领悟随机化的精髓）

第二种思路是确定走偶数次到达的点（假设已染黑），这样所有走奇数次到达的点可以随心所欲不逾矩（只要不是黑点就行了），它们两两互不干涉，所以在确定黑点的基础上for一下就行了。这样复杂度是 (80^5=3276800000)，不够优化，哭唧唧

这个思路的正解是事先处理一下所有的 (A ightarrow C ightarrow B) 的权值和存到数组 f[A][B] 中，然后排个序。如果要找 (A) 经过某一点到 (B) 的最短路（这个“某一点”不能是黑点），就从 f[A][B] 中找第一个不是黑点的路径。黑点最多也就5个，比找80次强多了

（代码？代码是不存在的，作者太懒了）