题解CF1311F Moving Points

Posted 2021-03-07 cjtcalc

[ exttt{Preface} ]

赛时，把 " 任意时刻 " 理解成 " 整数时刻 " 了，看起来一脸不可做的亚子，还各种推式子。

话说我为什么觉得 E 比 F 还难。
[ exttt{Description} ]
一个坐标轴 (OX) 上有 (n) 个点，第 (i) 个点位于整数点 (x_i) ，速度为 (v_i) 。

所有点以恒定的速度移动，在时刻 (t) （ (t) 可以是非整数），第 (i) 个点的坐标可以被计算为 (x_i + t imes v_i) 。

定义 (d(i,j)) 为：任何可能的时刻，第 (i) 个点和第 (j) 个点的最小可能距离，即
[ minlimits_{tin[0,∞)} { |(x_i+t imes v_i)-(x_j+t imes v_j)| } ]
求 (sumlimits_{1 leq i < j leq n}d(i,j)) 。
[ exttt{Solution} ]

• 考虑任意两个点 (i,j) ，不妨设 (x_i leq x_j) ，位置关系如下图：

1. 当 (v_i leq v_j) 时：

   说明点 (i) 的速度不比点 (j) 快，意味着每过一秒，点 (i,j) 的距离会增大 (v_j-v_i) ，由于 (t imes(v_j-v_i) geq 0) ，所以点 (i,j) 的距离永远不降，故时刻 (0) 时，(d(i,j)) 最小，此时 (d(i,j)=x_j-x_i) 。

2. 当 (v_i>v_j) 时：

   说明点 (i) 的速度比点 (j) 快，意味着每过一秒，点 (i,j) 的距离会减少 (v_i-v_j) ，突然想到小学数学的 追及问题 ，显然可得，在时刻 (frac{x_j-x_i}{v_i-v_j}) 时，点 (i) 与点 (j) 重合，故 (d(i,j)=0) 。

• 我们发现情况 (2) 对答案没有贡献，实际上只是求情况 (1) 的贡献，也就是 (sumlimits_{x_i leq x_j & v_i leq v_j}(x_j-x_i)) 。

• 然后我们发现这是一个经典的偏序问题，具体的：

• 我们将所有点按 (x) 这一维从小到大排序，就可以直接去掉 (x_i leq x_j) 的偏序关系了。
• 将 (v) 这一维离散化，建立两个 BIT（当然线段树也行），一个用于维护当前扫描到的点中， (v) 值在区间内的点的个数，一个用于维护 (v) 值在区间内的点的 (x) 值和。
• 接下来我们扫描每个点 (i) ，计算将 (i) 当成位置靠后的那个点时所产生的贡献，当固定住 (i) 时，此时 (x_i) 是不变的，我们记 (v) 值小于等于 (v_i) 的点的数量为 (c_1) ， (v) 值小于等于 (v_i) 点的 (x) 值和为 (c_2) ，贡献为 (x_i imes c_1-c_2) ，最后再将点 (i) 插入 BIT ，扫描完即可求出答案。

• (mathcal{O(n log n)}) 。

[ exttt{Code} ]

#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define RI register int

using namespace std;

namespace IO
{
    static char buf[1<<20],*fs,*ft;
    inline char gc()
    {
        if(fs==ft)
        {
            ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin);
            if(fs==ft)return EOF;
        }
        return *fs++;
    }
    #define gc() getchar()
    inline int read()
    {
        int x=0,f=1;char s=gc();
        while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=gc();}
        while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=gc();}
        return x*f;
    }
}using IO::read;

const int N=200100;

int n;

struct Node{
    int x;
    int v;
}a[N];

bool cmp(Node a,Node b)
{
    return a.x<b.x;
}

int len,mapval[N];

void discrete() // 离散化 
{
    sort(mapval+1,mapval+1+len);
    len=unique(mapval+1,mapval+1+len)-mapval-1;
}

int Real(int x)
{
    return lower_bound(mapval+1,mapval+1+len,x)-mapval;
}

long long c[N][2]; // 0 维是数量 , 1 维是 x 值和 

void add(int x,int k,int val)
{
    for(;x<=len;x+=x&-x)c[x][k]+=val;
}

long long ask(int x,int k)
{
    long long ans=0;
    for(;x;x-=x&-x)ans+=c[x][k];
    return ans;
}

long long ans;

int main()
{
    n=read();

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        a[i].x=read();

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        mapval[++len]=a[i].v=read();

    sort(a+1,a+1+n,cmp); // 排序 

    discrete();

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        a[i].v=Real(a[i].v);

    for(RI i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=a[i].x*ask(a[i].v,0)-ask(a[i].v,1); // 计算 
        add(a[i].v,0,1),add(a[i].v,1,a[i].x); // 查询 
    }

    printf("%lld
",ans);

    return 0;
}

[ exttt{Thanks} exttt{for} exttt{watching} ]