纪念一下我对Kalman的无限崇拜之情

Posted 2020-11-14 fanmu

今天用Kalman来求线性预测模型的系数，和ＬＭＳ一对比，天啦噜，我感叹了半小时．．．

和ＬＭＳ需要选合适的步长，样本序列需要足够长，迭代次数需要足够多，相比，卡尔曼真是帅呆了！不需要步长！不需要蒙特卡罗若干次！不需要１０００个以上样本点！精度还是比ＬＭＳ高！ＬＭＳ默默地擦了擦汗．．．

先说一下问题背景。起源都是维纳滤波，如何根据一串输入ｕ（ｎ）和期望响应ｄ（ｎ）来求滤波器系数，使得输出和期望响应的均方误差最小。

当期望响应为ｕ（ｎ），输入为ｕ（ｎ－１）＼ｕ（ｎ－２）＼．．．ｕ（ｎ－Ｍ）时，就是所谓的线性预测问题。

在已知输入信号的二阶统计量ｐ和Ｒ的情况下，最速下降就可以求系数，也不需要输入信号；但这样输入就没体现作用（输入的变化），为了让输入的存在感更强点，就自己算自相关矩阵Ｒ和互相关矩阵ｐ，于是ＬＭＳ就这样来了。

 Kalman其实还是维纳滤波。在线性预测问题上，状态向量是滤波器系数，观测量是输入序列，ｋａｌｍａｎ的最大优势是它的步长是自适应的，不需要人为选择

【关于ＬＭＳ其实有很多改进版本，有一个归一化ＬＭＳ（对输入归一化），观察它的迭代公式会发现，其实也是ｋａｌｍａｎ的低配版】