模拟退火

Posted 2020-11-14 peng-ym

模拟退火

（好久没有写博客，一写就是这么玄乎的东西......）

前言

• 对于这种十分神奇的近似算法（xjb随机算法） ，我一向觉得这十分不靠谱。
• 然而，只有真正认真学习过这个(极其富有魅力)的算法的人，才知道这个算法是多么的强 (多么的不靠谱)
• 那么，我就简单的介绍一下模拟退火。

算法的物理原理 （没什么用）

• PS：以下是摘自百度百科的物理原理介绍：

  模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

• 是不是发现，有点看不懂呢？甚至有一点点懵逼呢？
• 其实，这些内容没什么太大意义只是用来看看的。

• 唯一有点用的，可能就是那个平衡概率吧。

算法在oi中的作用

• oi中存在许多无法在多项式时间内解决的问题，如经典的TSP问题， 求费马点等多种问题。这也就是人们所熟知的np难问题。
• 人们不能忍受在指数时间内达到正确的解。因为即使解是正确的，但可能到世界毁灭，这个解也跑不出。
• 所以，人们期望有一种时间复杂度低，但是却能得到近似解的算法。即使这个算法得出的答案可能不是完全正确的。
• 这时，模拟退火，爬山，遗传算法，蚁群算法就渐渐到了人们的关注中，显得尤为重要了。
• 总而言之，模拟退火的作用就是：在较短的时间内，得到十分接近的答案，或者得到的就是答案。

算法实现

• 在知乎还是哪有一个特别有趣的比喻，在一定程度上说明了爬山算法与模拟退火的实现：

1. 爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
2. 模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

• 从以上那毫无意义的物理原理，我们可以看出，模拟退火的主要步骤有几个：

1. 设置初始温度(T)，初始符合条件的答案；
2. 通过某种神奇的方式，找到另一个符合条件的新状态；
3. 分别将两个状态的答案计算出来，并作差得到(Delta E)
4. 根据题目要求，贪心的决定是否更换答案。即：选择最优解。
5. 如果无法替换答案，则根据一定概率替换答案。即运用到上述的平衡概率(exp(Delta E / T))随机的决定是否替换。
6. 每一次操作后，进行降温操作。即：将温度(T)乘上某一个系数，一般是(0.985-0.999)随具体题目（随缘）定。

• 这就是模拟退火的具体实现方式，应该代码已经不难实现了。
• PS：有一点需要注意的是，用平衡条件进行更新答案的时候，要根据题目判断(Delta E)前要不要加(-)，如果实在判断不出，就两种都试一试。如果其中一种出现特别大的答案，或很奇怪的答案，那就用另一种吧。要么就把那一行注释掉，看看答案的变化大不大。
• 那么，模拟退火就讲完了。具体的代码实现，就通过具体的题目来看吧。

例题

（ 题目打完了，还没写题解。最近一篇篇加进来吧。）