CF1304E 1-Trees and Queries

Posted 2021-03-07 leachim

E. 1-Trees and Queries

原题

Problem Restatement

给出一个(n)个节点的树，每次询问，连结(x)与(y)节点，问(a)到(b)节点是否存在一条路径，使得长度为(k)（点和边 可重复走）。

(( 3 le n le 10^5, 1 le q le 10^5))

Solution

如果没连结(x)和(y)节点，则(a)到(b)之间的最短路是唯一的，而且由于树没有环，所以在最短路的基础上，只能两个节点之间来回“蹭”（蹭就是走到终点之后，与相邻两个点来回走），所以如果求的最短路为( ext{dist}(a,b))，那么唯有当( ext{dist}(a,b)leq k)，而且(2|k- ext{dist}(a,b))时，才可以成立。

考虑到目前连结了(x,y)，还是考虑(a)到(b)的最短路。我们可以分出3种情况。

1、不经过( ext {edge}(x,y))的最短路。即( ext{dist}(a,b))。

2、先从(a)到(x)，经过( ext {edge}(x,y))，然后从(y)到(b)。即( ext{dist}(a,x)+1+ ext{dist}(y,b))。

3、先从(b)到(x)，经过( ext {edge}(x,y))，然后从(y)到(a)。即( ext{dist}(b,x)+1+ ext{dist}(y,a))。

可以证明最短路一定在这三种情况之中，而且任何的路都是从这三条路之后重复“蹭”出去的。

（这里证明我没有想到简易证明，倒是可以通过分类讨论( ext {edge}(x,y))的位置，比较繁琐。另，证明中其实成环之和的讨论比较特别，要用到奇偶分析。这里留给读者当课后习题。）

总之，如果不能被这三种情况“蹭”出来，那么就是无法构造的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 100005
#define MAXLN 20
using namespace std;

struct edge{
    int to,next;
}e[MAXN<<1];

int tot,head[MAXN];

void add(int x,int y){
    tot++;
    e[tot].to=y;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}

int dep[MAXN],lgd[MAXN],st[MAXN][MAXLN];

void dfs(int cur,int fa){
    dep[cur]=dep[fa]+1;
    st[cur][0]=fa;
    for(lgd[cur]=1;(1<<lgd[cur])<=dep[cur];lgd[cur]++)
        st[cur][lgd[cur]]=st[st[cur][lgd[cur]-1]][lgd[cur]-1];

    for(int p=head[cur];p;p=e[p].next){
        if(e[p].to==fa) continue;
        dfs(e[p].to,cur);
    }
}

int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(int i=0;dep[x]-dep[y];i++)
        if((dep[x]-dep[y])&(1<<i)) x=st[x][i];
    if(x==y) return x;

    for(int i=lgd[x];i>=0;i--)
        if(st[x][i]!=st[y][i])
            x=st[x][i], y=st[y][i];
    return st[x][0];
}

void solve(){
    int n,q;
    scanf("%d", &n);
    tot=0;
    memset(head+1,0,n*sizeof(head[0]));
    for(int i=1;i<n;i++){
        int f,g;
        scanf("%d %d", &f, &g);
        add(f,g);
        add(g,f);
    }
    dep[0]=0;
    dfs(1,0);
    scanf("%d", &q);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int x,y,a,b,k,ax,ay,ab,bx,by;
        scanf("%d %d %d %d %d", &x, &y, &a, &b, &k);
        ab=dep[a]+dep[b]-2*dep[lca(a,b)];
        if(ab<=k && ((ab-k)&1)==0){
            printf("YES
");
            continue;
        }
        ax=dep[a]+dep[x]-2*dep[lca(a,x)];
        by=dep[b]+dep[y]-2*dep[lca(b,y)];
        if(ax+by+1<=k && ((ax+by+1-k)&1)==0){
            printf("YES
");
            continue;
        }
        ay=dep[a]+dep[y]-2*dep[lca(a,y)];
        bx=dep[b]+dep[x]-2*dep[lca(b,x)];
        if(ay+bx+1<=k && ((ay+bx+1-k)&1)==0){
            printf("YES
");
            continue;
        }
        printf("NO
");
    }
}

int main(){
    int T=1;
    // scanf("%d", &T);
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}