题解[USACO05NOV]奶牛玩杂技

Posted 2021-03-07 cjtcalc

[ exttt{Description} ]

有 (n) 头牛，每头牛都有自己的体重 (W_i) 和力量 (S_i) 。

将这 (n) 头牛摞在一起，每头牛的压扁指数定义为：压在该牛上面的牛的体重之和 (-) 该牛力量 。

您需要找到一种摞牛方案，使得压扁指数最大的牛的压扁指数最小。

求这个压扁指数。
[ exttt{Solution} ]

• 微扰（邻项交换）证明贪心好题。

• 考虑任意一个摞牛方案，设该摞牛方案中，从顶端往底端数的第 (i) 头牛的体重为 (W_i) ，力量为 (S_i) 。

• 记 (Z_i=sumlimits_{j=1}limits^{i}W_j)（前 (i) 头牛体重和）。

• 我们考虑任意一个邻项，考虑交换：

	第 (i) 头牛	第 (i+1) 头牛
交换前压扁指数	(Z_{i-1}-S_i)	(Z_{i-1}+W_i-S_{i+1})
交换后压扁指数	(Z_{i-1}-S_{i+1})	(Z_{i-1}+W_{i+1}-S_i)

• 我们发现需要比较这两个式子的值：

[ max(Z_{i-1}-S_i,Z_{i-1}+W_i-S_{i+1}) \ max(Z_{i-1}-S_{i+1},Z_{i-1}+W_{i+1}-S_i) ]

• 式子内部减去 (Z_{i-1}) ，得：

[ max(-S_i,W_i-S_{i+1}) \ max(-S_{i+1},W_{i+1}-S_i) ]

• 式子内部加上 (S_i+S_{i+1}) ，得：

[ max(S_{i+1},W_i+S_i) \ max(S_i,W_{i+1}+S_{i+1}) ]

• 注意到 (W) 为正整数，所以有 (S_i leq W_i+S_i) ，(S_{i+1} leq W_{i+1}+S_{i+1}) 。
• 也就是说当 (S_{i+1} = max(S_{i+1},W_i+S_i)) 时，也定不会比 (max(S_i,W_{i+1}+S_{i+1})) 大，另一式子同理。
• 故可以转化为比较这两个式子的值：

[ W_i+S_i \ W_{i+1}+S_{i+1} ]

• 当 (W_i+S_i leq W_{i+1}+S_{i+1}) 时，上式 (leq) 下式，则交换前定不比交换后优。

• 当 (W_i+S_i geq W_{i+1}+S_{i+1}) 时，上式 (geq) 下式，则交换后定不比交换前劣。

• 我们将满足 (W_i+S_i > W_j+S_j) ，(i<j) 的点对 ((i,j)) 视为一个逆序对，显然，在任意局面下，增加逆序对的数量都不会使整体结果变优，减少逆序对的数量都不会使整体结果变差。
• 根据冒泡排序，在任意局面下，都可通过邻项交换使得该序列的逆序对数量变 (0) ，当逆序对数量为 (0) 时，实际上就是将这 (n) 头牛以 (W_i+S_i) 为关键字从小到大排序。

• 至此我们就有一个贪心策略：将这 (n) 头牛以 (W_i+S_i) 为关键字从小到大排序。尽管这个贪心策略很玄学。

• 排好序，按题目描述说的一样算出答案即可。

• (mathcal{O(n log n)}) 。

[ exttt{Code} ]

#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define RI register int

using namespace std;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return x*f;
}

const int N=50010;

int n;

struct Cow{
    int W,S;
}a[N];

bool cmp(Cow a,Cow b)
{
    return a.W+a.S<b.W+b.S;
}

long long ans=-0x3f3f3f3f;

int main()
{
    n=read();

    for(RI i=1;i<=n;i++)
        a[i].W=read(),a[i].S=read();

    sort(a+1,a+1+n,cmp);

    long long sum=0;
    for(RI i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,sum-a[i].S);
        sum+=a[i].W;
    }

    printf("%lld
",ans); 

    return 0;
}

[ exttt{Thanks} exttt{for} exttt{watching} ]