[bzoj1905] [ZJOI2007] Hide 捉迷藏

Posted 2021-03-07 lindalee

题意简述

给定一棵 (n) 个点的树，起初每个点都为黑色。
2种操作，要么改变某个点的颜色（由黑至白或由白至黑），要么询问距离最远的两个黑点间的距离。
共 (m) 次操作。

(nleq 10^5,mleq 2 imes 10^5)

---

想法

动态点分治模板题。

如果只有一次询问操作，那么显然可以用点分治来做。（树形 (dp) 也可以，但那样不容易拓展到动态的情况）
点分治时，以每个点为根时，统计过它的满足条件的路径即可。
我们需要知道的只是以该点 (u) 的每个子节点 (v) 为根的子树到该点的最长距离 (mx[v])。
过该点的路径的最长距离为 所有 (mx[v]) 中的最大值+次大值。注意如果该点为黑点，最长距离则为 所有 (mx[v]) 和 (0) 中的最大值+次大值。
同时我们应统计出以 (u) 为根的子树中所有点到上一个分治中心的距离的最大值 (mx[u])。

回到这道题，有修改和多次查询。
于是建立 “点分树”，即将当前分治中心与它的各子节点的分治中心连边形成的树。
这棵树有一些性质：
1.只有 (logn) 层
2.原树中以每个分治中心为根的子树里的所有点 就是 点分树中以它为根的子树中的所有点。
3.修改一个点 (x) ，影响到的是点分树上所有 (x) 的祖先为分治中心的情况。
设“点分树”中点 (u) 的父节点为 (pa[u])

在此题中，对于每个点 (u)，维护堆 (c[u]) 记录 (u) 为分治中心的子树中的所有黑点到 (pa[u]) 的距离，堆 (b[u]) 记录 (u) 为分治中心时各子节点到 (u) 的最大距离。即 (b[u]) 中的值，是所有 $c[v].top(),如果 (u) 为黑点则还需加上0。
对全局维护堆 (a) 记录过每个分治中心的最长距离。(a) 中的值，就是 (b[u]) 中的最大值+次大值。

由于有修改，所以堆需要满足可删除。
用两个优先队列维护一个堆即可。

还有一个问题，如何快速求原树上两点间距离？
我们知道倍增和树剖都是 (O(logn)) 的，但更快的方法是 (st) 表+ (dfs) 序。
这个 (dfs) 序很特殊，每次访问完 (u) 的子节点 (v) 后，要在序列中再加入 (u) 。记录进入每个点的时间 (dfn[u])
在这个序列上用 (O(nlogn)) 预处理出 (st) 表，之后查询 (x) 与 (y) 的 (lca) 就是 (dfn[x]) 与 (dfn[y]) 着一段序列中深度最小的点，(O(1)) 可求。

---

总结

技巧

1.(O(1)) 求静态树上两点的 (lca)：(st) 表+ (dfs) 序

int tot,dfn[N],num[N*2],dep[N];
void dfs(int u){
    int v;
    dfn[u]=++tot; num[tot]=u;
    for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
        if(!dfn[v=p->v]) {
            dep[v]=dep[u]+1;
            dfs(v);
            num[++tot]=u; //与普通dfs序不同的地方!
        }
}
int st[N*2][18],lg[N*2];
void getst(){
    dep[1]=1; dfs(1);
    for(int i=1;i<=tot;i++) st[i][0]=dep[num[i]];
    for(int j=1;j<18;j++){
        int t=(1<<j);
        for(int i=1;i+t-1<=tot;i++)
            st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+t/2][j-1]);/**/
    }
    int t=0,cur=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(i<cur) lg[i]=t-1;
        else {
            lg[i]=t;
            t++; cur*=2;
        }
}
int lca(int x,int y){ //lca的深度
    x=dfn[x]; y=dfn[y];
    if(x>y) swap(x,y);
    int t=lg[y-x+1];
    return min(st[x][t],st[y+1-(1<<t)][t]);
}

2.可删堆
用两个优先队列维护，一个维护所有的，一个维护删除的。

struct heap{
    priority_queue<int> q,d;
    void ins(int x) { q.push(x); }
    void del(int x) { d.push(x); }
    void pop(){ //删除最大值
        while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
        q.pop();
    }
    int fr(){ //堆中最大值
        while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
        return q.top();
    }
    int size() { return q.size()-d.size(); }
};

手残

(st) 表中注意第二维不要开小了！
注意判断堆是否为空。

---

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;

int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}

const int N = 100005;

int n;
struct node{
    int v;
    node *nxt;
}pool[N*4],*h1[N],*h[N];
int cnt;
void addedge1(int u,int v){
    node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
    p->v=v;p->nxt=h1[u];h1[u]=p;
    q->v=u;q->nxt=h1[v];h1[v]=q;
}
void addedge(int u,int v){
    node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
    p->v=v;p->nxt=h[u];h[u]=p;
    q->v=u;q->nxt=h[v];h[v]=q;
}

//get lca
int tot,dfn[N],num[N*2],dep[N];
void dfs(int u){
    int v;
    dfn[u]=++tot; num[tot]=u;
    for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
        if(!dfn[v=p->v]) {
            dep[v]=dep[u]+1;
            dfs(v);
            num[++tot]=u; /**/
        }
}
int st[N*2][18],lg[N*2];
void getst(){
    dep[1]=1; dfs(1);
    for(int i=1;i<=tot;i++) st[i][0]=dep[num[i]];
    for(int j=1;j<18;j++){
        int t=(1<<j);
        for(int i=1;i+t-1<=tot;i++)
            st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+t/2][j-1]);/**/
    }
    int t=0,cur=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        if(i<cur) lg[i]=t-1;
        else {
            lg[i]=t;
            t++; cur*=2;
        }
}
int lca(int x,int y){
    x=dfn[x]; y=dfn[y];
    if(x>y) swap(x,y);
    int t=lg[y-x+1];
    return min(st[x][t],st[y+1-(1<<t)][t]);
}
int dis(int x,int y) { 
    return x==0||y==0?dep[x+y]:dep[x]+dep[y]-2*lca(x,y); 
}

//heap
struct heap{
    priority_queue<int> q,d;
    void ins(int x) { q.push(x); }
    void del(int x) { d.push(x); }
    void pop(){
        while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
        q.pop();
    }
    int fr(){
        while(d.size() && d.top()==q.top()) q.pop(),d.pop();
        return q.top();
    }
    int se(){
        int x=fr(); pop();
        int y=fr(); q.push(x);
        return x+y;
    }
    int size() { return q.size()-d.size(); }
}a,b[N],c[N];

//build dianfen tree
int rt,root,all,sz[N],mx[N],vis[N],pa[N];
void getrt(int u,int fa){
    int v;
    sz[u]=1; mx[u]=0;
    for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
        if((v=p->v)!=fa && !vis[v]){
            getrt(v,u);
            sz[u]+=sz[v];
            mx[u]=max(mx[u],sz[v]);
        }
    mx[u]=max(mx[u],all-sz[u]);
    if(mx[u]<mx[rt]) rt=u;
}
void getsz(int u,int fa,int id){
    int v;
    sz[u]=1;
    c[id].ins(dis(u,pa[id]));
    for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
        if((v=p->v)!=fa && !vis[v]){
            getsz(v,u,id);
            sz[u]+=sz[v];
        }
}
void work(int u){
    int v;
    vis[u]=1;
    c[u].ins(dis(u,pa[u]));
    b[u].ins(0);
    for(node *p=h1[u];p;p=p->nxt)
        if(!vis[v=p->v]){
            getsz(v,u,u);
            all=sz[v]; rt=0; getrt(v,u);
            addedge(u,rt);
            pa[rt]=u; v=rt;
            work(rt);
            b[u].ins(c[v].fr());
        }
    if(b[u].size()>1) a.ins(b[u].se());
}

//modify
void turn_off(int u){//1->0
    int x=u;
    if(b[x].size()>1) a.del(b[x].se());
    b[x].ins(0);
    if(b[x].size()>1) a.ins(b[x].se());
    while(x){
        if(pa[x]) { //del fa
            if(b[pa[x]].size()>1) a.del(b[pa[x]].se());
            if(c[x].size()) b[pa[x]].del(c[x].fr()); /**/
        }
        c[x].ins(dis(u,pa[x]));
        if(pa[x]) { //update fa
            b[pa[x]].ins(c[x].fr());
            if(b[pa[x]].size()>1) a.ins(b[pa[x]].se());
        }
        x=pa[x]; /**/
    }
}
void turn_on(int u){//0->1
    int x=u;
    if(b[x].size()>1) a.del(b[x].se());
    b[x].del(0);
    if(b[x].size()>1) a.ins(b[x].se());
    while(x){
        if(pa[x]) { //del fa
            if(b[pa[x]].size()>1) a.del(b[pa[x]].se());
            if(c[x].size()) b[pa[x]].del(c[x].fr()); /**/
        }
        c[x].del(dis(u,pa[x]));
        if(pa[x]) { //update fa
            if(c[x].size()) b[pa[x]].ins(c[x].fr());/**/
            if(b[pa[x]].size()>1) a.ins(b[pa[x]].se());
        }
        x=pa[x];/**/
    }
}

int lon,lit[N];

int main()
{
    int Q,x;
    char ch[2];
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++) addedge1(read(),read());
    
    getst();
    rt=0; mx[rt]=n+1; all=n; getrt(1,0);
    root=rt;
    work(root);
    
    lon=0;
    Q=read();
    while(Q--){
        scanf("%s",ch);
        if(ch[0]=='C'){
            x=read();
            if(lit[x]) lon--,turn_off(x),lit[x]=0; /*lit*/
            else lon++,turn_on(x),lit[x]=1;
        }
        else{
            if(lon==n) printf("-1
");
            else if(lon==n-1) printf("0
");
            else printf("%d
",a.fr());
        }
    }
    
    return 0;
}