高等数学小结

Posted 2021-03-07 dddchongya

1.极限

　　1.1 无穷小转换需要皆为乘积；

　　1.2 洛必达不一定都适用，可能上下某极限不存在；

　　1.3 极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等；

　　1.4 洛必达要让分母形式尽量简单，适用于0/0，∞/∞情况 （简单求导使用）;

　　1.5 加减法考虑泰勒公式，展开到系数不相等的x的最低次幂，或者除法展开到分子分母同阶；

　　1.6 x→0 ， x的x次方=1；

　　1.7 x→1 ，In x = x-1；

　　1.8 第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点；

　　1.9 第二类间断点： 无穷间断点，振荡间断点；

　　1.10 七种极限形式     0/0；∞/∞；0*∞；∞-∞；∞^0；0^∞；1^∞；转化时要使分母形式尽量简单；

　　1.11 对于极限趋向于-∞或-x ，可先换元为+向，防止变号出错；

 

2.一元函数微分学　　　　　　　

　　2.1 ★★★★★ 在题目未说可导的情况下，使用定义法先判断导数是否存在；

　　2.2 微分<=>可导=>连续=>可积；

　　2.3 ▲y！=dy；只是近似省略了无穷小量；dy为线性增量；f  ’ (x） 为线性主部

　　　　注：一个圆弧，放大无线倍，dx=▲x,dy只是切线的变化量，▲y略大于dy；且一元微分公式：dy = f ‘ (x) dx； 　　

　　2.4 反函数的导数；在此不记录，望公式的推导过程理解；

　　2.5 泰勒公示的通项记牢！以及两种余项的表达方式；

　　2.6 ★★★变限积分中间的t可以为2x-t之类，若为表达式需要先转化为t；

　　2.7  f(x) - k / x =A  直接可得 f ’ ( k0)=A  f(0)=K; 

　　2.8 ★★★基本求导公式！

　　2.9 弧微分以及曲率的求导公式！

　　2.10 若 f ^m (x)=0; 当n为偶数时，若 f ^n (x) >0,则为极小值，反之则为极大值；

　　2.11 对于二阶倒数的正负决定极值结论的证明，用泰勒公式展开式，一阶导为0， f (x) -  f( x0) 的正负取决于余项的正负，以此得到周围点和x0的关系，判断极大极小值；

　　2.12  极值需要点的两端有定义，所以断点不能为极值；但是有些间断点可以是极值点；

　　2.13 若 f ^m (x)=0; 当n为奇数时，若 f ^n (x) 不为0,则为拐点；

　　2.14 三种渐近线的求法；

　　2.15 构造函数，求导，判断走向，以此来求极值，最值；