倍增原理

Posted 2021-03-07 hhyx

1） 递推的时候，如果状态空间很大线性递推无法满足时间和空间复杂度的要求，可以通过成倍增长的方式。
2） 二进制划分来进行递推，任意整数可以表示成若干个2的次幂项的和，使用求出的代表值拼成需要的
3） 递推求解的问题的状态空间必须关于2的次幂具有划分性

经典问题模型：
长度为n的序列，m次询问，每次给定一个t，求出最大的下标k使得从1到k的和小于t，也就是区间最值问题

朴素做法：
枚举k，每次询问最坏的情况为O（n）
二分：
用O（n）时间预处理a数组的前缀和，二分k的位置，每次询问都是O（logn）

倍增做法：
1） 令p=0，k=0，sum=0
2） 比较A数组中 k 之后的 p 个数的和与t的关系，
如果sum + s[k + p]-s[ k ]<t,令sum+=s[k + p] - s[k],k += p,p *= 2
就是累加上p个数的和，然后把p的跨度增长一倍，
如果sum+s[k+p]-s[k] > t,令p/=2
3） 重复2，直到p为0