P5658 括号树

Posted 2021-03-07 lpf-666

P5658 括号树

经典的括号树，树形DP

（送我退役的括号树）

题意描述

相信我已经把这道题深深地记忆在我的脑海之中（想看出门）

第一年参加提高组，心情好自闭呀。

考场上只拿了链的35分的蒟蒻我，终于在靠后想出了正解。

算法分析

树形DP，但首先可以不用管它，先看部分分。

10~20pts

暴力O（N4）的。是个人都会写吧。

55pts

把链的分全拿了，观察我们暴力究竟慢在哪里了？

无非就是计算 1~i之中有多少个匹配的括号子序列。

观察数据，发现数据 5e5，所以只能O(N);

那么就要O(1)求解匹配的括号子序列，发现具有无后效性，于是果断DP.

过了很久很久…

手玩几组数据后我终于发现了规律：

if(这是右括号并可以匹配) a[i]=a[左括号的位置-1]+1；f[i]=f[i-1]+a[i]；else 左括号入栈（当然入的是左括号的坐标）

100pts

终于到正解了。

果断

解决了链，有了稳稳的 55pts。想想好像可以实现化链成树，果断开正解。

很明显，我们解决链的做法在树里有很多行不通的地方。

细细想来，困难主要出现在这2个方面。

首先，你没法遍历整颗树的时候编号是连续的。这代表着我们 lst[i] = lst[t - 1] + 1 这样计算是完全行不通了。

其次，遍历一棵树必然会有递归和回溯。而处理链我们不考虑回溯，一直向下找就可以找完了。

冷静。

先看第一个问题

冷静分析一波，你会发现，虽然编号不连续了，但是你的括号序列一定是从父节点传递下来的！

仔细一想，我们发现，在链的情况里，为什么能用 lst[i] = lst[t - 1] + 1 计算贡献？其实，t?1 就是 t 的父亲节点！无非是 [t,i] 的括号序列继承了 [1,t?1]也就是 [1,fa[t]] 的括号序列！（fa[i]代表 i 的父亲）

然后我们惊喜的发现，这条定则对于树完全适用。

于是我们就可以修改一波原来的式子：

$lst[i] = lst[t - 1] + 1 ?> lst[x] = lst[fa[t]] + 1; $

perfect！

当然计算总答案也要修改：

(sum[i] = sum[i - 1] + lst[i]; ?> sum[x] = sum[fa[x]] + lst[x];)

这样我们就解决了问题1

接下来考虑解决第二个问题：

在树中遍历有回溯，回溯后栈里的信息可能就无法对应当前的版本...

其实这个问题很容易解决。由于每次回溯只回溯一层，所以我们在回溯的时候，执行我们递归时相反的操作即可！

比如，如果我们扫到右括号，递归时如果栈不为空，照理来说会弹出一个位置信息。

那么我们就可以记录这个信息，回溯的时候再把它压回去，又变成了我们当前的版本。

扫到左括号也一样。我们会压入一个位置信息，那么回溯时，直接弹出这个压入的信息就可以了！

其实这也相当于“复原”操作，让栈里的信息永远留在我们现在的状态！

没了

代码实现

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

int n,fa[500050],zhan[500050],tot=0;
long long step[500050],sum[500050],ans;
char s[500050];
vector<int>side[500050];

void dfs(int x){
   int last=0;
   if(s[x]==')'){
     if(tot){
       last=zhan[tot];
       step[x]=step[fa[last]]+1;
       tot--;
     }
   }
   else if(s[x]=='(') zhan[++tot]=x;
   sum[x]=sum[fa[x]]+step[x];
   for(int i=0;i<side[x].size();i++) dfs(side[x][i]);
   //回溯
   if(last) zhan[++tot]=last;
   else if(tot) tot--;
   return;
 }

int main(){
   scanf("%d",&n);
   cin>>s+1;
   for(int i=2;i<=n;i++){
     scanf("%d",&fa[i]);
     side[fa[i]].push_back(i);
   }
   dfs(1); 
   for(long long i=1;i<=n;i++){
     ans^=sum[i]*i;
     //printf("%lld
",sum[i]);
   }
   printf("%lld",ans);
   //system("pause");
   return 0;
}

结语

一步一步分析，这道题是不是就没有这么难了？

这也告诉了我们，考场上，一开始绝对不要先想正解，先看一看部分分，对你想正解有帮助哦！

很明显，我们这次解题的步骤就是由 暴力 -> 链 -> 正解的！

没了。。。