堆-优先队列

Posted 2021-03-06 wendigo

堆-优先队列

前置知识：二叉树。

参考资料

暂无

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堆就是优先队列，可以用来解决动态区间查询最值问题。

堆就是一个完全二叉树，可以插入节点，删除根节点（也可以删除特定节点）。

为了方便，普通的堆节点 (i) 的父亲就是 ([idiv2]) （([x]) 表示不超过 (x) 的最大整数）。

节点 (i) 的左儿子是 (i imes2)，右儿子是 (i imes2+1)。

对于一个大顶堆：

每次插入节点的时候，就把节点插在完全二叉树的最后，如果它比它的父亲节点大，就把它和父亲交换，然后一直和父亲比较交换，直到父亲的值比它大，或者它已经成为树根。

每次删除根节点的时候，就把完全二叉树最后的那个节点放到根节点上，然后让最后那个节点原来的位置消失。然后把单前的根节点，跟它的左儿子比较，如果比左儿子小，就跟左儿子交换，然后不停跟左儿子比较交换知道它比左儿子大或着他没有左儿子。

时间复杂度 (O(nlog n))。

如果你掌握了这些，那蒟蒻就放代码了：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
class heap{
public:
    int v[N],sz;
    heap(){sz=0;}
    void push(int x){ //插入
        int p=++sz;
        for(v[p]=x;p>1&&v[p>>1]<v[p];p>>=1)
            swap(v[p>>1],v[p]);
    }
    void pop(){ //删除顶
        swap(v[1],v[sz--]);
        for(int p=1;(p<<1)<=sz&&v[p<<1]>v[p];p<<=1)
            swap(v[p<<1],v[p]);
    }
    int top(){return v[1];}
}q;
int main(){
    int f,x;
    while(scanf("%d",&f)==1){
        if(f==1) scanf("%d",&x),q.push(x);
        else if(f==2) q.pop();
        else if(f==3) printf("%d
",q.top());
    }
    return 0;
}

可是很多时候我们急需一个堆，那就不需要写那么长，C++库里自带了数据结构堆：

priority_queue<int> q;

默认是大顶堆，支持 (q.push(x))、(q.pop())、(q.top())。如果想要小顶堆，只需这么写：

priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q;

如果你要自定义比较运算符 (cmp)，可以这么写：

class cmp{  //自定义比较运算符cmp
public:
    bool operator()(int x,int y){
        return abs(x-5)>abs(y-5); //最接近5的数为堆顶
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> q;

与 (sort()) 不一样，堆顶与堆中每个元素 (cmp) 都是 (0)。比如你的 (cmp) 内是 (return~x>y;) 那么就是小顶堆。

特别模块：双堆删除

如果你想删除堆中特定的一个数，那么就要用到双堆删除。

开另一个堆，把要删的数 (push) 进去。每次取原堆 (top()) 的时候，如果原堆 (top()) 等于这个堆的 (top())，就 (pop())，直到这个堆没数了或者两个堆堆顶不相同了。

class double_heap{
public:
    priority_queue<int> que,del;
    void push(int x){que.push(x);}
    void delet(int x){del.push(x);}
    int top(){
        while(del.size()&&que.top()==del.top())
            del.pop(),que.pop();
        if(que.empty()) return -1;
        return que.top();
    }
}q;

关于堆的还有左偏树-可并堆，但这里不讲，那是后续知识。

祝大家学习愉快！