hdu 2045 不容易系列之—— LELE的RPG难题

Posted 2021-03-06 wz-archer

Problem Description

人称“AC女之杀手”的超级偶像LELE最近忽然玩起了深沉，这可急坏了众多“Cole”（LELE的粉丝,即"可乐"）,经过多方打探，某资深Cole终于知道了原因，原来，LELE最近研究起了著名的RPG难题:
有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法.
以上就是著名的RPG难题.
如果你是Cole,我想你一定会想尽办法帮助LELE解决这个问题的;如果不是,看在众多漂亮的痛不欲生的Cole女的面子上,你也不会袖手旁观吧?

Input

输入数据包含多个测试实例,每个测试实例占一行,由一个整数N组成，(0<n<=50)。

Output

对于每个测试实例，请输出全部的满足要求的涂法，每个实例的输出占一行。

Sample Input

1

2

Sample Output

3

6

解：首先考虑这样一个问题：如果去掉首尾两格也不同色的条件，那么问题就变成了有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色。

　　设n个方格以红色为结尾的种类数为an，以粉色为结尾的种类数为bn，以绿色为结尾的种类数为cn，如。那么=。也就是说n+1个格子的涂法f（n+1）=a_n+1+b_n+1+c_n+1=2（a_n+b_n+c_n）=2*f(n)

　　那么加上首尾不相同的条件后发现状态不止有三种，和结尾有关，和开始有关，结尾3种，开始三种，所以一共有九种状态，但是这九种状态并不是都满足条件。用式子来表达就是，九种状态分别为ab_n表示以红色为开头，粉色为结尾，长度为n的种类数。其他以此类推。f（n）=ab_n+ac_n+ba_n+bc_n+ca_n+cb_n（n>1,首尾不能相同）。，从这个矩阵已经可以看出矩阵的三行是不相关的，是独立的，那么发现ab_n+1+ac_n+1=aa_n+ac_n+aa_n+ab_n=（ab_n+ac_n）+2*aa_n=（ab_n+ac_n）+2*(ab_n-1+ac_n-1).同理可得矩阵的第二行和第三行。解得：f（n+1）=f（n）+2f（n-1）。

　　其实这个题并不需要这么麻烦，写这么多时感觉虽然公式不好理解，但更容易证明他的正确性。

　　简单理解就是：考虑n长度的时，设f（n）为n长度的种类数，那么首先可以构造出f（n-1）种（因为n-1长度符合条件的首尾不同，所以只能在第n位添加不属于前两种颜色的最后一种颜色），2*f（n-1）种（首先给n-1位添加和首相同的颜色，在第n位就可以有两种颜色可以添加，就是2*f（n-1））。

 

 

 

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long ll;

const double inf=1e20;
const int maxn=2e5+10;
const int mod=1e9+7;

ll a[100];

int main(){
    a[0]=3;
    a[1]=a[2]=6;
    for(int i=3;i<60;i++){
        a[i]=a[i-1]+2*a[i-2];
    }
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        printf("%lld
",a[n-1]);
    }
    return 0;
}