LightOJ - 1079 (概率？DP！01背包中量的选择)

Posted 2021-03-06 dialectics

题意：

　　有一个概率Q，Q的初始值为1，一个界限P，以及N件物品，每件物品都有自身的价值ｖ_i,以及一个概率下降比率p_i(表示选取这件物品会导致Q变为 Q*(1-p_i))。

　　问在Q大于P的条件下，最大的收益值。

核心思想：01背包的思想，选取正确的 量 作为背包容量。

题解思路：

　　如果以概率作为‘背包容量’，因为概率是个连续变化量，所以DP【i】【1~+∞】，不可取。

　　固选择收益作为‘背包容量’，选择概率作为‘背包收益’，DP[i][j]实际意义：面对前i件物品，收益 大于等于 j时的最大概率。（模型意义：背包容量为j时的最大收益，但模型意义对这题不太相符，因为允许重量大于容量，即模型意义不能很好的解决这个问题，亦可以理解为一般的DP，而不必局限于背包模型）。

　　状态转移方程：

　　

 

 　　最终选取使DP[n][j]>=P的最大j。

收获：

　　01背包模型中容量与价值可以根据实际情况选择相应的量，容量一定在计算时间内可穷。

　　模型终归是模型，遇到具体问题时应学会合理变化与使用模型，不可局限于模型。

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
const int MAXN=1e4+10;
int weight[101];
double value[101];
double dp[MAXN];
int N;
double P;
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int tt = 1; tt <= T; tt++) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        scanf("%lf%d",&P,&N);
        dp[0]=1;
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=N;i++){
            scanf("%d%lf",weight+i,value+i);
            sum+=weight[i];
        }
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=sum;j>=weight[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]*(1-value[i]));
            }
        }
        for(int i=sum;i>=0;i--){
            if(dp[i]>=(1-P)){
                printf("Case %d: %d
",tt,i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

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