CF-Educational Codeforces Round 83-D-Count the Arrays

Posted 2021-03-06 angel-demon

题目传送门

sol：首先我们考虑在一个长度为$n$的序列里只有一个数出现了两次其他数都只出现了一次，那么在序列中出现过的数就有$n - 1$个。而这些数的范围是$[1, m]$，从$[1, m]$里选$n - 1$个不同的数的方案数为$C_{m}^{n - 1}$。这$n - 1$个数里最大的数不能作为出现两次的数，否则就没有峰值了，所以可以作为出现两次的数有$n - 2$个。再考虑这些数的排列，出现两次的数肯定要一个在峰值左边一个在峰值右边，除了出现两次的数和峰值以外还剩$n - 3$个数，这些数可以在峰值左边也可以在峰值右边，所以有$2^{n - 3}$种情况。最终的结果就是$C_{m}^{n - 1}*(n - 2)*(2^{n - 3})$。另外在特判一下$n$是2的情况，如果$n$是2又出现了一对重复的数是没有峰值的，所以结果一定是$0$。

• 排列组合

  #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef long long LL;
  typedef pair<int, int> PII;
  const int MOD = 998244353;
  int quick_pow(int n, int k) {
      int res = 1;
      while (k) {
          if (k & 1) res = 1LL * res * n % MOD;
          n = 1LL * n * n % MOD;
          k >>= 1;
      }
      return res % MOD;
  }
  int main() {
      int n, m;
      scanf("%d%d", &n, &m);
      if (n == 2) return puts("0") * 0;
      int ans = 1LL * (n - 2) * quick_pow(2, n - 3) % MOD;
      int tmp1 = 1, tmp2 = 1;
      for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
          tmp1 = 1LL * tmp1 * (m - i + 1) % MOD;
          tmp2 = 1LL * tmp2 * i % MOD;
      }
      ans = 1LL * ans * tmp1 % MOD;
      ans = 1LL * ans * quick_pow(tmp2, MOD - 2) % MOD;
      printf("%d
  ", ans);
      return 0;
  }