动态规划

Posted 2021-03-06 yangfei629

一、一般使用场景

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常用于多阶段决策问题 最优解问题

区别于贪心算法只考虑眼前的局部利益 动态规定求解的是整体的最优值

如：求A到B的最短路径

       A出发可达 A1 A2 A3

      A1 出发可达 B1 B2

      A2 出发可达 B2 B3

      ....

 

二、特点

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最优子结构 : 最优解的问题可以由子问题的最优解转换而来（就是DP状态转移方程式，难点所在）

无重复子问题： 子问题不会重新计算 这个是动态规划算法的价值所在，否则直接使用递归即可（代码更易读 CleanCode）

无后效应：由子问题的状态向目标演进时 不用考虑子问题的状态如何而来 不会影响下一阶段的选择 （此点需要注意，DP方程式无法推导想想是否满足无后效应）

                  一个例子：走方格 不允许重复走，从某点A向后演进时，那只能考虑3个方向，点A如何而来影响了向后的决策 ，这就不满足无后效应了

 

三、解题步骤

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a.  确定DP方程式

    什么是状态 如何转移

b. 确定初始状态

c. 规划一条路径 依次求解这条路上每个阶段每个选择的值，向后递推，直到目标。

   （一般可以画一个二维决策表，就是一个填表的过程）

 

四、例子

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给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行左右相邻的两个节点上

例三角形二维数组 ori，如下：

[

    [2],

   [3,4],

  [6,5,7],

[1,7,9,5,4]

] 

 

1、先确定DP方程式 （需要考虑什么是状态）

    dp[i][j] : 表示第i行 第j列 到底部的最短距离

    dp[i][j] = min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + ori[i][j]

 

2、确定初始状态

   dp[6][i] = ori[6][i] (假设有7行)

 

3、从初始到目标 规划的路演进

   dp[5][0] dp[5,1] ....dp[5][j]

   dp[4,0] dp[4,1],...dp[4][j]

   .....

 

其他的典型例子：背包问题、最长公共子列序列等