动态规划入门（dp）

Posted 2021-03-06 zhmlzhml

dp的基本思想，是把大问题转化成一个个小问题，然后递归解决。

所以本质思想的话还是递归。

dp最重要的是要找到状态转移方程，也就是把大问题化解的过程。

举个例子

一个数字金字塔

1       1
2     2  3
3   2  2  2
4  3  1  3  3

 在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99.

这个题不难想到，你只要找出每一步的最大值就可以。·

那么这么找呢？（递归啊~）

 

我们先看看状态转移方程

/*
首先，肯定得用二维数组来存放数字三角形

    然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)

    我们用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。

    因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)

    当我们看到这个题目的时候，首先想到的就是可以用简单的递归来解题：

    D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形，我们可以写出如下的递归式：   
*/
if ( r == N)                  
    MaxSum(r,j) = D(r,j)    
else        
    MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)   

 

那么是不是就可以了？

 1 #include <iostream>    
 2 #include <algorithm>   
 3 #define MAX 101    
 4 using namespace std;   
 5 int D[MAX][MAX];    
 6 int n;    
 7 int MaxSum(int i, int j){      
 8     if(i==n)    
 9         return D[i][j];      
10     int x = MaxSum(i+1,j);      
11     int y = MaxSum(i+1,j+1);      
12     return max(x,y)+D[i][j];    
13 }  
14 int main(){      
15     int i,j;      
16     cin >> n;      
17     for(i=1;i<=n;i++)     
18         for(j=1;j<=i;j++)          
19             cin >> D[i][j];      
20     cout << MaxSum(1,1) << endl;    
21 }    

但实际上，这个代码会超时的。

为什么呢，

因为已经走过的路，存在重复遍历了

那就把已经遍历过的做一下标记，就可以避免重复遍历了。

 1 #include <iostream>    
 2 #include <algorithm>   
 3 using namespace std;  
 4    
 5 #define MAX 101  
 6     
 7 int D[MAX][MAX];      
 8 int n;    
 9 int maxSum[MAX][MAX];  
10    
11 int MaxSum(int i, int j){        
12     if( maxSum[i][j] != -1 )           
13         return maxSum[i][j];    //如果是-1那说明这个肯定不是目标，直接回去就行了    
14     if(i==n)     
15         maxSum[i][j] = D[i][j];       
16     else{      
17         int x = MaxSum(i+1,j);         
18         int y = MaxSum(i+1,j+1);         
19         maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];       
20     }       
21     return maxSum[i][j];   
22 }   
23 int main(){      
24     int i,j;      
25     cin >> n;      
26     for(i=1;i<=n;i++)     
27         for(j=1;j<=i;j++) {         
28             cin >> D[i][j];         
29             maxSum[i][j] = -1;   //这里把所有的都设置为-1         }      
31     cout << MaxSum(1,1) << endl;   
32 }