CF392B Tower of Hanoi

Posted 2021-03-06 dmoransky

题目链接。

Description

三塔汉诺塔问题，给一个 (3 imes 3) 的矩阵 (t)，(t_{i, j}) 表示从 (i) 塔移动一个盘子到 (j) 塔的花费。

初始状态 (n) 个盘子都在第一个盘子，要求将所有的移到第三个盘子，求最小花费。

Solution

显然可以间接移动，花费有可能更优，先用 Floyd 算法算出从 (i) 间接 / 直接移动到 (j) 的最小花费，设 (d_{i,j}) 表示从 (i) 到 (j) 的最小花费。

显然无后效性，考虑 (dp)。

状态设计

设 (f_{i,a,b}) 表示将 (i) 个盘子从 (a) 移动到 (b) 的最小花费。

初始状态

(f_{1, a, b} = d_{a,b}) 其余为正无穷

状态转移

不妨设另外一个盘子为 (c)。

先把 (n) 个盘子看做两个整体：第 (n) 个盘子和 (n - 1) 个盘子，这样可以 DP 了。

通过观察发现有两个可能成为最优的转移方式：

• 将 (n - 1) 个盘子 (a Rightarrow c)，第 (n) 个盘子 (a Rightarrow b)，然后再把 (n - 1) 个盘子 (c Rightarrow b)。
• (n - 1) 个盘子 (a Rightarrow b)，第 (n) 个盘子 (a Rightarrow c)，(n - 1) 个盘子 (b Rightarrow a)，第 (n) 个盘子 (c Rightarrow b)，(n - 1) 个盘子 (a Rightarrow b)。

其他的转移一定是这两种 + 反复横跳形成的。

将上面的方式翻译一下，即：

• (f_{i, a, b} gets f_{i - 1, a,c} + t_{a,b} + f_{i - 1, c, b})

• (f_{i, a, b} gets f_{i - 1, a,b} + t_{a,c} + f_{i - 1, b, a} + t_{c,b} + f_{i - 1, a, b})

值得注意的是这里不能用 (d)，因为其他盘子不是空的，不能作为间接量。

时间复杂度

(O(N))

Tips

注意开 long long ！

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 45;

typedef long long LL;

int t[3][3], g[3][3], n;
LL f[N][3][3];


int main() {
    for (int i = 0; i < 3; i++)
        for (int j = 0; j < 3; j++) scanf("%d", &t[i][j]), g[i][j] = t[i][j];
    scanf("%d", &n);
    for (int k = 0; k < 3; k++)
        for (int i = 0; i < 3; i++)
            for (int j = 0; j < 3; j++)
                t[i][j] = min(t[i][j], t[i][k] + t[k][j]);
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for (int i = 0; i < 3; i++)
        for (int j = 0; j < 3; j++)
            f[1][i][j] = t[i][j];

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int a = 0; a < 3; a++) {
            for (int b = 0; b < 3; b++) {
                if (a == b) continue;
                int c = 3 - a - b;
                f[i][a][b] = min(f[i - 1][a][c] + g[a][b] + f[i - 1][c][b], f[i - 1][a][b] + g[a][c] + f[i - 1][b][a] + g[c][b] + f[i - 1][a][b]);
            }
        }
    }
    printf("%lld
", f[n][0][2]);
    return 0;
}