向量空间列空间零空间可解性
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了向量空间列空间零空间可解性相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
向量空间
向量构成的空间就是向量空间，这个空间必须对加法和数乘封闭，即取控件中两个向量相加结果还在空间内，取一个数乘向量结果还在空间内。
如(R^3)，是一个向量空间，由实数组成，每个向量有3个元素。
注意： 如果没有0向量，那么一定不是向量空间，0向量对加法和数乘都很关键。
- 0v = 0
- v+(-v) = 0
所以没0向量不中
子空间
子空间即向量空间中的向量空间。
(R^2)中的子空间
- 零向量（原点）
- 每条穿过原点的线
- (R^2)本身
(R^3)中的子空间
- 零向量（原点）
- 每条穿过原点的线
- 每个穿过原点的平面
(R^3)本身
原点
是任何空间的子空间，这个空间只包括零向量。
子空间的交集并集
现在有子空间(S1,S2)，(S1)是(R^3)中一过原点直线，(S2)是(R^3)中一过原点平面
(S1 otin S2)
- (S1 cap S2)中只有原点，显然构成子空间
- (S1 cup S2)不构成子空间，随便取(S1)中向量(a)和(S2)中向量(b)相加((a,b ot = 0))，结果都不在(S1 cup S2)中。
(S1 in S2)
- 构成的子空间相当于(S2)本身，显然交集并集都构成子空间。
列空间
列空间即矩阵列构成的向量空间，我们只需把矩阵中的每个列想象成一个向量，由它们的线性组合构成的空间即列空间。
如一(m imes n)矩阵(A)由列(v_1,v_2,...,v_n)组成，则它的列空间即所有(c_1v_1 + c_2v_2,...,c_nv_n)组成的空间。用矩阵语言描述就是(Ax)对于所有(x)所构成的空间。
所以可以说，(Ax=b)只有当(b)是(A)中各列的线性组合时才有解。
线性相关
[ left[ egin{matrix} 1&1&22&1&33&1&44&1&5 end{matrix} ight] ]
这个矩阵只能构成(R^4)中的(R^2)平面，因为第三列本身就是一二列的线性组合，所以对列空间来说，它毫无贡献，这种情况就是线性相关。
线性无关
[ left[ egin{matrix} 1&1&32&1&33&1&44&1&5 end{matrix} ight] ]
简单的修改下矩阵，这回他能构成(R^4)中完整的(R^3)空间了，这种情况叫线性无关。
零空间
对于所有可以得出(Ax=0)的(x)所构成的空间。
[ left[ egin{matrix} 1&1&22&1&33&1&44&1&5 end{matrix} ight] ]
对于这个矩阵，显然原点是一个它的零空间。
第三行是第一行和第二行的线性组合，所以我们取1个行1，1个行2，-1个行3即可。这种组合还有很多，写出通用的([c,c,-c]^T)，这就是它的零空间。
求解零空间
如果存在零空间，一定是有线性相关的列，它们会在消元中体现出来
[ left[ egin{matrix} 1&2&2&22&4&6&83&6&8&10 end{matrix} ight] -> left[ egin{matrix} 1&2&2&2 &0&2&4 &0&0&0 end{matrix} ight] ]
第二列和第四列没主元且出现了一个零行。
秩
秩等于主元个数，上例中为2。
主元列和自由列
有主元的列叫主元列，其它的叫自由列，对于这种(m imes n(m<n))矩阵，(Ax=0)不一定有确定解，我们需要通过自由列确定主元列。
自由列的数是随意分配的，这挺像参数方程。
所谓零空间也就是自由列的线性组合。
求解回代
对于上面的例子，我们先让(x=[c_1,1,c_2,0]^T)，方程就变成了
[
x_1+2+2x_3+0=0,
2x_3+0=0
]
这时(c_1,c_2)也能确定了，(x=[-2,1,0,0]^T)
测试一个向量显然得不到零空间所有线性组合，再让(x=[c1,0,c2,1]^T)，回代得到(x=[2,0,-2,1])。
这两个x称为零空间的特解，零空间就是特解的线性组合。即(c_1[-2,1,0,0]^T+c_2[2,0,-2,1]^T)。
另一个通用解法
上面的解法确实能得到零空间，但是。。自由列一旦多起来很头疼，要测试所有的特解。
rref形式
rref（简化行阶梯）形式是对消元矩阵U的再一次简化，这个形式中主元全为1，主元上下全是0。
上面的矩阵可以通过行一减行二，行二乘1/2变为
[
left[
egin{matrix}
1&2&0&-2 &0&1&2 &0&0&0
end{matrix}
ight]
]
这就是rref形式，这个形式中所有主元构成一个单位阵，自由列构成一个矩阵，然后下面全是0：
[ left[ egin{matrix} 1&0&2&-2 &1&0&2 &0&0&0 end{matrix} ight] ]
实际上我们这样交换的话，原方程组的未知数顺序也要交换。
矩阵最终变成这种形式
[
left[
egin{matrix}
I&F &0
end{matrix}
ight]
]
你会发现F位置正是我们通过构造特解求出的主元列的系数（符号相反，也就是(-F)）
其实化简rref形式就相当于回代，下面给出证明
[
left[
egin{matrix}
I&F
end{matrix}
ight]
left[
egin{matrix}
x_{piovt}x_{free}
end{matrix}
ight]
=0
]
这个式子是我们把(Ax=0)经过一系列简化得到的(Rx=0)形式，其中，R就是列交换过的rref矩阵，x则是一个特解，R列互换了这个特解自然要行互换，这相当于交换方程组未知数顺序
[
x_{piovt} = -Fx_{free} = -F
]
这里只是把上面的矩阵乘法展开了，由于我们之前求特解分配的(x_{free})是单位阵，那会取得都是1，0这种数，所以x的主元位置的未知数就是-F
可解性以及解的数量
含有零空间的
如果(Ax=b)有解，且其中的A满足(A imes some, of x=0)，那么对于(Ax=b)的所有解都要加上其零空间，所以解的形式通常是这样的：
[
left[
egin{matrix}
x1x2x3
end{matrix}
ight]
+ c
left[
egin{matrix}
.........
end{matrix}
ight]
+ c
left[
egin{matrix}
.........
end{matrix}
ight]
]
所以有无数个解
出现零行的
若出现零行就可能无解，因为出现零行必有某个消元步骤出现全0，解也要满足那个条件等于0，就像下面
[ left[ egin{matrix} 1&2&b_11&2&b_2 end{matrix} ight] to left[ egin{matrix} 1&2&b_1 &0&b_2-b1 end{matrix} ight] ]
所以b要满足(b2-b1=0)才有解
秩未满
(r<m,and,r<n)，这种情况肯定有零空间，也可能有零行，所以有0或无穷多个解。
列满秩
对于列满秩(r=n)，每一列都有主元，这个情况下(m>=n)，方程数大于等于未知数，无零空间，但可能出现零行，所以可能有0个或1个解
行满秩
对于行满秩，(r=m)，每一行都有主元，这时(m<=n)，方程数小于等于未知数，没零行了，但肯定有存在有的列没主元。所以必定存在零空间，这时对于b肯定有无穷个解。
行列都满秩
(r=m=n)，这个形式的rref是单位阵，无零行，无零空间，对于所有b都有且只有1个解。
参考资料
以上是关于向量空间列空间零空间可解性的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章