背包问题

Posted 2021-03-05 continued258

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了背包问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

0/1背包

首先来讲下什么事0/1背包问题,一般都是这样的:有一堆物品,每个物品有重量和价值两个属性,同时有一个背包可以装一定重量的物品,在背包不超重的情况下往背包里装物品,最多能装价值多少的物品.

之所以叫0/1背包是因为每种物品只有一个,只能选择放或者不放.

1.二维数组形式的解法
思想大致是这样的:我们记录之前放入物品的最优状态来求得当前的最优解.

也就是状态转移方程
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - obj[i][w]] + obj[i][v], dp[i - 1][j])

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Task01 {

    static Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        int[][] obj = new int[n + 1][2];
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for (int i = 1; i < obj.length; i++) {
            obj[i][0] = scanner.nextInt();
            obj[i][1] = scanner.nextInt();
        }
        for (int i = 1; i < obj.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dp[i].length; j++) {
                if (j - obj[i][0] >= 0)
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - obj[i][0]] + obj[i][1], dp[i - 1][j]);
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }

        for (int i = 0; i <dp.length ; i++) {
            System.out.println(Arrays.toString(dp[i]));
        }

    }

}

样例:
第一行：物品个数N和背包大小M
第二行至第N+1行：第i个物品的重量和价值
4 6
1 4
2 6
3 12
2 7

来看下输出的数组(一般情况下第0行和第0列不存数据)

第1列	第2列	第3列	第4列	第5列	第6列
0	0	0	0	0	0
4	4	4	4	4	4
4	6	10	10	10	10
4	6	12	16	18	22
4	7	12	16	19	23

第M列表示背包的大小M

第几行表示加入当前物品后的选择

所以dp[4][6]是当前情况的最优解.

2.一维数组形式的解法
一维数组的解法其实是上面二维数组的解法优化而来.如果按照二维的解法,有很多题会声明出很大数组直接MLE内存超限.我们仔细观察上面的解法,就会发发现,除了最后一行以外其他的数据都是多余的.

所以我们只保留一行数组就可以了,但是数组的更新顺序需要调整一下.从1->M的话更新的数据会受到当前行更新数据的影响,但是从M->1就完全受影响.

稍作修改把代码变成这样就可以了.

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Task01 {

    static Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        int[][] obj = new int[n + 1][2];
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 1; i < obj.length; i++) {
            obj[i][0] = scanner.nextInt();
            obj[i][1] = scanner.nextInt();
        }
        for (int i = 1; i < obj.length; i++) {
            for (int j = dp.length - 1; j > 0; j--) {
                if (j - obj[i][0] >= 0)
                    dp[j] = Math.max(dp[j - obj[i][0]] + obj[i][1], dp[j]);
            }
        }

        System.out.println(Arrays.toString(dp));

    }

}

完全背包

完全背包问题的表述和0/1背包大致上一样,但是完全背包的物品数量没有限制.
也就是说一个物品可以放入很多次.

完全背包的解法也和0/1背包非常相似,只要把上面0/1背包的M->1的更新方式变成1->M的更新方式就可以了.

仔细想一下我们为什么要把原先的二维数组解法换成一维的时候把更新方式倒过来?如果不倒过来会出现什么情况?


import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Task01 {

    static Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    public static void main(String[] args) {
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();
        int[][] obj = new int[n + 1][2];
        int[] dp = new int[m + 1];
        for (int i = 1; i < obj.length; i++) {
            obj[i][0] = scanner.nextInt();
            obj[i][1] = scanner.nextInt();
        }
        for (int i = 1; i < obj.length; i++) {
            for (int j = 1; j < dp.length; j++) {
                if (j - obj[i][0] >= 0)
                    dp[j] = Math.max(dp[j - obj[i][0]] + obj[i][1], dp[j]);
            }
        }

        System.out.println(Arrays.toString(dp));

    }


}