极大团（maximal clique）算法：Born_kerbosch算法

Posted 2021-03-05 lfxiao

 

不了解极大团（maximal clique）的，请看极大团这篇文章

参考资料：

Bron_Kerbosch算法

团、极大团、最大团介绍

当给出一个图后，我们应该怎么去寻找其中的极大子团呢？

寻找极大子团的最简单的思想是：

1.生成原始图的所有子图（可能的子图有2*n个，n代表顶点个数）

2.判断这些子图是不是团

3.将不是极大团的团删除

 

Born_Kerbosch算法

这个算法主要构造三个集合：

R集合：存储当前极大团中加入的顶点

P集合：存储可能还加入的点

X集合：存储的是已经假如过某个极大团的点（作用是判重，因为会从每个顶点开始，枚举所有团，如果不对已经加入到某个极大团的顶点进行标记，可能会有重复极大团的出现）

 

基础Born_kerbosch算法：

1.对于任意一个在集合P中的顶点V，我们把V加入到R集合（集合P中的每一个顶点均与R集合中所有的点是连接的，所以加入顶点V后，依然能保证集合R是个团），然后对在P集合中且与V相连的这部分点中，寻找下一个可能加入到R集合的点。（意思就时加入点v至R集合后更新P集合，使P集合中的任意一个点依然能和R集合中每一个点都是连接的。因为这里新R集合中加入了V，所以只要是原p集合中且与v顶点相连的这些顶点就是与新R集合中所有顶点相连）

2.回溯时把顶点V从P中移除并加入到X集合，表示在当前状态下包含顶点V的极大团已经计算完毕。

3.R集合为极大团时，必须满足P与X都是空的。P存放的是还可能加入到极大团R中的点，P集合为空表示已经没有点能加入到R中了。而X中存放的是已经完成极大团计算的点，且X集合中的任意一个点必然是与R中每个顶点都连接（因为我们每次向下dfs时，还对P和X分别进行取与R集合内都连接的操作来保证，而且X中的点就是从R中取出的点，当然会和R集合中的每个点都连接），即X中的点必然可以和R集合构成极大团。如果X集合不为空的话，可以把X的点加入到R集合中从而构成一个团R1，R1的顶点数大于R，说明R就不是一个极大团，R1集合中的极大团是之前计算包含x集合中的点的极大团的时候计算过了的，故当且仅当P、X集合都为空时R才是一个极大团。

算法图例

 

Born_Kerbosch算法的优化

在上面这个方法中，我们进行了许多不必要的判断，例如在我们找到了极大团{1、2、3}之后，依然去对{1、3}，{2、3}，{3}这些团进行了判断，然而这些显然不是极大团。所以现在考虑的是对其进行优化，使程序不用进行不必要的递归。

当我们将一个结点u，放入到R集合后，再取下一个结点，取的必然是u的邻居结点（因为再更新P和X时，会将不是邻居结点的结点都过滤掉）。通俗的讲就是如果取完u之后我们再取与u相邻的点v也能加入到极大团，那么我们只取u就好了，因为我们由u开始递归，已经找到了u及其邻居结点v等等结点构成的极大团了，没有必要再去从v开始寻找极大团，这会增加不必要的计算。至于v可能可以其他结点构成另一个极大团，如果这个极大团包括了u，那么由u开始就已经找到了这个极大团了；如果这个极大团不包括u,那说明这个极大团里面一定存在和u结点不相连的结点k，那没必要从v开始寻找这个极大团了，从u的非邻居结点k开始，一样可以找到这个极大团。这样对u及其邻居结点构成的极大团，只需要从u开始寻找一次就可以了，接下来就直接从u的非邻居结点k开始寻找极大团，这样可以减少许多不必要的计算。