例谈数学的积累

Posted 2021-03-05 wanghai0666

博文由来

在最近的组卷中，看到这样一个题目[来源于数学难卷]，大概思考了其解法过程，颇有感触，作以记录；

案例[高中]若命题(“exists xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”)为假命题，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，sqrt{2})$ $B.(-infty，2sqrt{2}]$ $C.(0，sqrt{2}]$ $D.(2sqrt{2}，+infty)$

解题过程

分析：由于命题(“exists xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”)为假命题，

则上述命题的否定[不是否命题]一定为真命题；

即命题(“forall xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})geqslant 0”)为真命题，

即不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})geqslant 0)对(forall xin (0,2])恒成立，

〔这样我们自然会思考，如果能分离参数(a)，则接下来问题的求解就顺的多了，观察发现，可以考虑使用换元法〕

令(e^x-e^{-x}=t)，则由(y=e^x-e^{-x})在(xin (0,2])上是增函数，可知(tin (0,e^2-e^{-2}])，

又由于((e^x-e^{-x})^2=t^2)，即(e^{2x}-2+e^{-2x}=t^2)，则(e^{2x}+e^{-2x}=t^2+2)，

这样问题转化为(t^2+2-atgeqslant 0)对(tin (0,e^2-e^{-2}])恒成立，

分离参数得到，(aleqslant cfrac{t^2+2}{t}=t+cfrac{2}{t})对(tin (0,e^2-e^{-2}])恒成立，

令(g(t)=t+cfrac{2}{t})，则需要求在(tin (0,e^2-e^{-2}])上的(g(t)_{min})；

由于(g'(t)=1-cfrac{2}{t^2})，故当(tin (0,sqrt{2}])时，(g'(t)<0)，函数(g(t))单调递减；

当(tin [sqrt{2}，2sqrt{2}))时，(g'(t)>0)，函数(g(t))单调递增；

故当(tin (0,e^2-e^{-2}])时，(g(t)_{min}=g(sqrt{2})=2sqrt{2})，

则(aleqslant 2sqrt{2})，即选(B).

需要积累

以下内容是顺利解决此问题需要的最少储备，用相关的关键词，你可以在本博客中继续搜索，深入学习；

①命题的真假判断和转化，命题的否定；

②换元法，题目求解中为什么需要换元法，如何换元，平时如何积累；

引例[这样的题目初中练习的肯定不少]已知(x+x^{-1}=3)，求值：

$x^{frac{1}{2}}+x^{-frac{1}{2}}=sqrt{5}$；

$x^{frac{3}{2}}+x^{-frac{3}{2}}=2sqrt{5}$；

$x^2+x^{-2}=7$；

③恒成立模型和恒成立命题，哪些命题都可以转化为恒成立命题，转化后如何求解；

④分离参数法，为什么要分离参数，如何分离参数，；

⑤常用函数的积累，哪些函数是比较常用的函数，都需要积累函数的声明性质，如何积累；

(h(x)=e^xpm e^{-x})的奇偶性和单调性以及图像；(f(x)=xpm cfrac{k}{x}(k>0))的奇偶性和单调性以及图像；

难易转化

以下的题目是按照函数的难以程度，题目涉及到的知识点的多少排列，其求解难度也是由易到难；

引例1[高一新课使用]已知函数(f(x)=x+cfrac{2}{x})，(xin (0,4))，求函数(f(x))的最小值；

引例2[高一新课使用]已知函数(f(x)=x+cfrac{2}{x})，(xin [cfrac{1}{4},3])，求函数(f(x))的最值；

引例3[高一高二使用]已知函数(f(x)=x^2+cfrac{2}{x^2})，(xin (0,sqrt{2}))，求函数(f(x))的最小值；

引例4[高三一轮使用]已知函数(f(x)=x^2-ax+2>0)在(xin (0,sqrt{2}))上恒成立，求参数(a)的取值范围；

引例5[高三专题使用]若命题“当(xin (0,sqrt{2}))时，函数(f(x)=x^2-ax+2>0)为真命题”，求参数(a)的取值范围；

引例6[高三专题使用]若命题“(exists xin (0,sqrt{2}))时，函数(f(x)=x^2-ax+2leqslant 0)为假命题”，求参数(a)的取值范围；

引例7[高三专题使用]若命题“当(xin (0,sqrt{2}))时，函数(f(x)=x^2-ax+2>0)为假命题”，求参数(a)的取值范围；

引例8[高考模拟使用]若命题(“exists xin (0,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”)为假命题，求参数(a)的取值范围；

引例9[高考模拟使用]若命题(“exists xin (1,2])，不等式(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x+e^{-x})<0”)为假命题，求参数(a)的取值范围；