[P1273] 有线电视网 (树形DP+分组背包)

Posted 2020-11-14 nnezgy

题意：给出一棵树，有边权，只有叶子节点有点权，求一个合法方案（选择走到哪几个叶子节点，且路径上的权值和 <= 要走到的叶子节点的点权和），使得选择的叶子节点数量尽量的多；

解法：树形DP+分组背包；

1.树形DP；这是一棵树，所以叫树形DP；

2.分组背包；在这里主要是运用到了它的思想；我们可以设 f[i][j]，表示 i节点选择了 j个叶子节点的费用最大值；假设现在在 x节点，它的下面有 n个叶子节点（不是它的儿子），那么我们就要处理出它选 1，2，3，……，n 个叶子节点的情况，但是由于这是一棵树，所以 x节点的状态又要由它的儿子节点转移过来，而它的儿子节点又包含有叶子节点……

这不是很像是分组背包吗，我们只要将 x节点的每一个儿子看作是将要放进 x这个背包的的物品组别，而 x节点的儿子的叶子节点数量就是这个物品组别的物品数量，每次从 x节点的一棵子树递归回来，我们就可以进行一次 DP，每一次 DP就像是在这个这个儿子（组别）上进行一次分组背包操作，当递归完后，就可以得出答案啦；

附上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 3e3+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n,m;
int val[N];
struct edge{
    int next,to,w;
}a[N<<4];
int head[N],cnt;
int fa[N],size[N];
int f[N][N],vis[N];

void add(int u,int v,int w){
    a[++cnt]=(edge){head[u],v,w};
    head[u]=cnt;
}

int dfs(int x){
    if(val[x]){
        f[x][1]=val[x];
        return 1;
    }
    int sum=0,t;
    for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
        int v=a[i].to;
        t=dfs(v);
        sum+=t;
        for(int j=sum;j>=1;--j)
        for(int k=1;k<=t;++k) f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[v][k]-a[i].w);
    }
    return sum;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,k;i<=n-m;++i){
        scanf("%d",&k);
        for(int j=1,x,y;j<=k;++j){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            add(i,x,y);
        }
    }
    for(int i=n-m+1;i<=n;++i) scanf("%d",&val[i]);
    memset(f,-inf,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=0;
    dfs(1);
    for(int i=m;i>=1;--i){
        if(f[1][i]>=0){
            printf("%d",i);
            break;
        }
    }
    return 0;
}