RSA加密算法

Posted 2021-03-04 -wenli

 

对称加密与非对称加密

对称加密：加密和解密都是用同一个密钥的算法，称作对称加密。

非对称加密：加密和解密需要不同的密钥。

 

 

 

什么是RSA

RSA是一种非对称加密算法，它的名字由三位开发者，即Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman的姓氏的首字母组成的。

RSA被用于公钥密码和数字签名。

1983年，RSA公司为RSA算法在美国取得了专利，但现在该专利已经过期。

RSA加密与解密介绍

在RSA中，明文、密钥和密文都是数字。
RSA加密
RSA的加密过程可以用下面的公式来表达：

RSA的密文是对代表了明文的数字的E次方求mod N的结果。就是将明文和自己做E次乘方，然后将其结果除以N求余数，这个余数就是密文。
E和N两个数字对RSA的加密结果起着决定性作用。
E和N两个数才组成一个公钥，因此我们一般会写出“公钥是（E，N）”或者“公钥是{E，N}”这样的形式

RSA解密

RSA的解密过程可以用下面的公式来表达：

该公式表示对密文的数字的D次方求mod N就可以得到明文。就是将密文自己做D次乘法，再对其结果除以N求余数，就可以得到明文。
D和N两个数字也对解密结果起着决定性机会，这里的N和RSA加密的N是同一个数字。
D和N两个数组成了一个私钥，因此我们一般会写出“私钥是（D，N）”或者“私钥是{D，N}”这样的形式

所以到这里我们似乎只要知道怎么产生公钥（E，N）和私钥（D，N）。

 

RSA加密与解密详细

数学知识准备

RSA加密与解密算法中，只用到素数、互质数、指数运算、模运算等几个简单的数学知识。所以，我们也需要了解这几个概念即可。

素数

素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

互质数

百度百科上的解释是：公因数只有1的两个数，叫做互质数。；维基百科上的解释是：互质，又称互素。若N个整数的最大公因子是1，则称这N个整数互质。

常见的互质数判断方法主要有以下几种：

• 两个不同的质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
• 一个质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
• 相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
• 相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
• 较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
• 小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。
• 2和任何奇数是互质数。例如2和87。
• 1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
• 辗转相除法。

指数运算

指数运算又称乘方计算，计算结果称为幂。nm指将n自乘m次。把nm看作乘方的结果，叫做”n的m次幂”或”n的m次方”。其中，n称为“底数”，m称为“指数”。

模运算

模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译。和模运算紧密相关的一个概念是“同余”。数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。

两个整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作: a ≡ b (mod m)；读作：a同余于b模m，或者，a与b关于模m同余。例如：26 ≡ 14 (mod 12)。

加密和解密

使用Alice和他的小伙伴来举例子。

假设Alice想通过一个不可靠的媒体接受Bob的一条私人消息，他可以用下面的方式产生一个公钥和私钥。

• 1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N = pq.
• 2. 根据欧拉函数，求得r=φ(N)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)。
• 3. 选择一个小于r的整数e,是e与r互质。并求得e关于r的模反元素，命名为d。(求d令ed≡1(mod r))。(模反元素存在，当且仅当e与r互质）
• 4. 将p和q的记录销毁。

其中(N，e)是公钥，(N，d)是私钥。

举个例子：

• 1. Alice随机选两个不相等的质数61和53，并计算两数的积N=61*53=3233，N的长度就是密钥长度。3233的二进制是110010100001，一共12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，总要的场合是2048位。
• 2. 计算N的欧拉函数。 φ(N)=(p-1)(q-1)=60*52=3120.
• 3. Alice 在1到3120上随机选择了一个随机数e=17。
• 4. 计算e对φ(N)的模反元素d，即时，ed-1=kφ(N)。
• 即使求解：17x+3120y=1.用扩展欧几里得算法求解。可以算出一组解(x,y)=(2753,-15)，即d=2753。

至此完成计算。

其中N=3233,e=17,d=2753。所以公钥就是(N,e)=(3233,17)，私钥(N,d)=(3233,2753)。实际应用中公钥和私钥都是采用ASN.1格式表达的。

加密

加密要用到公钥(N,e)。

假设Bob要向Alice发送加密信息m，他就要用Alice的公钥(N,e)对m进行加密。但m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。

所谓加密就是计算下式的c。

m^e ≡ c (mod n)

假设m=65,Alice的公钥(3233,17),所以等式如下：

65^17≡2790（mod 3233）

所以c等于2790，Bob就把2790发给Alice。

解密

Alice收到Bob发来的2790后，就用自己的私钥(3233,2755)进行解密。

　c^d ≡ m (mod n)

也就是c的d次方除以n的余数就是m。

2790^2753 ≡ 65 (mod 3233)

因此得到原文65。

 

 

refer:

https://blog.csdn.net/chengqiuming/article/details/82725137

https://www.jianshu.com/p/48ceec5e0124

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/07/rsa_algorithm_part_two.html