伽马函数常用性质总结以及高斯函数的矩母函数公式推导（随机过程）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了伽马函数常用性质总结以及高斯函数的矩母函数公式推导（随机过程）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
(Gamma)函数的定义
- 在实数域上伽马函数定义为：
[ Gamma(x)=int_0^{+infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0) ]
另外一种写法：
[ Gamma(x)=2int_0^{+infty}t^{2x-1}e^{-t^2}dt ] 在复数域上伽马函数定义为：
[ Gamma(x)=int_0^{+infty}t^{z-1}e^{-t}dt ](Gamma)函数常用性质
(Gamma(x+1)=limlimits_{N o+infty}frac{n!n^x}{prod_{m=1}^{n}(x+m)})
递归性质：
[ Gamma(x+1)=xGamma(x) ]
- 对于正整数(n),
[ Gamma(x)=(n-1)!Gamma(1) ]
- 与白塔（Beta）函数的关系：
[
B(m,n)=frac{Gamma(m)Gamma(n)}{Gamma(m+n)}
]
其中，(B)函数的定义为：
对于任意的(P,Q>0),
[
B(P,Q)=int_0^1x^{P-1}(1-x)^{Q-1}dx
]
- 对于(xin(0,1))，有
[ Gamma(1-x)Gamma(x)=frac{pi}{sin{pi}x} ]
- 常见(Gamma)函数的取值：
[
Gamma(frac{1}{2})=2int_0^{+infty}e^{-t^2}dt=sqrt{pi}
]
[
Gamma(-frac{3}{2})=frac{4}{3}sqrt{pi}
]
[ Gamma(-frac{1}{2})=-2sqrt{pi} ]
[ Gamma(frac{3}{2})=frac{1}{2}sqrt{pi} ]
[ Gamma(frac{5}{2})=frac{3}{4}sqrt{pi} ]
[ Gamma(frac{7}{2})=frac{15}{8}sqrt{pi} ]
[ int_0^{+infty}e^{-t^2}=frac{sqrt{pi}}{2} ]
- 对于任意正整数(n)，(Gamma(n)=(n-1)!)
求高斯函数(f(x)=int_{-infty}^{+infty}frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}e^{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}}dx)的矩母函数
引理1：(int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{t^2}{2}}dt=sqrt{2pi})
证明：
[
egin{align*}
&(int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{t^2}{2}}dt)^2&=int_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{x^2+y^2}{2}}dxdy&=int_0^{2pi}d hetaint_0^{+infty}e^{-frac{r^2}{2}}rdr&=2piint_0^{+infty}e^{-frac{r^2}{2}}rdr&=2pi(-e^{-frac{r^2}{2}}|_0^{+infty})&=2pi
end{align*}
]
因此，(int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{t^2}{2}}dt=sqrt{2pi})
[
egin{align*}
g_{xi}( heta)&=int_{-infty}^{+infty}e^{ heta x}frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}exp{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}}dx&=frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}+ heta x}dx&overset{w=frac{x-mu_1}{sigma_1}}{=}frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{w^2}{2}+ heta(wsigma_1+mu_1)}dw&=e^{mu_1 heta}frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{w^2}{2}+ heta wsigma_1}dw&=e^{mu_1 heta}frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{(w- hetasigma_1)^2- heta^2sigma_1^2}{2}}dw&=e^{mu_1 heta+frac{ heta^2sigma_1^2}{2}}frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{+infty}e^{-frac{(w- hetasigma_1)^2}{2}}dw&=e^{mu_1 heta+frac{ heta^2sigma_1^2}{2}}frac{1}{sqrt{2pi}}sqrt{2pi}&=e^{mu_1 heta+frac{ heta^2sigma_1^2}{2}}\end{align*}
]
参考文献
以上是关于伽马函数常用性质总结以及高斯函数的矩母函数公式推导（随机过程）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章