最大权完美匹配：KM算法的优化

Posted 2021-03-04 nealchen

KM算法

设二分图的两部分点集分别为 $X={X_1, X_2, ldots, X_n}$ 和 $Y={Y_1, Y_2, ldots, Y_m}$, $left<X_i, Y_j ight>$ 的边权为 $w_{ij}$.

给两部分点集分别赋点权 ${A_i}, {B_i}$, 使得 $A_i+B_j ge w_{ij}$. 取等的边的生成子图叫做相等子图。那么相等子图的完美匹配就是最大权匹配。我们需要适当选取权值，使相等子图有完美匹配。

算法流程如下：

1. 令 $X=emptyset$, $B_j=0$.
2. 对于 $k=1, 2, ldots, n$:
   1. 在 $X$ 中加入 $X_k$, 取 $A_k=max{w_{kj}}$.
   2. 搜索一条从 $X_k$ 到 $Y$ 中未匹配点的交错路。
   3. 如果交错路存在，修改匹配，令 $k gets k+1$ 重复 $(2)$.
   4. 如果交错路不存在，记搜索树（此时叫做交错树 $M$）顶点集与 $X$ 的交为 $X‘$, 与 $Y$ 的交为 $Y‘$.
      1. 取 $d=min{A_i+B_j-w_{ij} mid X_i in X‘, left<X_i, Y_j ight> otin M}$.
      2. 将 $X‘$ 中的所有点权减小 $d$, $Y‘$ 中的所有点权增大 $d$. 此时 $A_i+B_j ge w_{ij}$ 仍然满足，交错树上的边仍然属于相等子图，且至少有一条与交错树相邻的相等子图中的边。
      3. 重复 $(2.2)$.

KM算法需要对每回修改后的子图重新搜索交错路，时间复杂度可达 $O(n^4)$.

优化

由于原交错树仍然是可用的，我们考虑不重新搜索交错路，而是在原交错树上直接扩展新边。

具体地，我们在每次加点的过程中，由起点开始扩展交错树，对于每个 $Y‘$ 中的点，记录它的父结点。对于 $Y_j in Y setminus Y‘$, 我们维护 $slack_j=min{A_i+B_j-w_{ij} mid X_i in X‘}$, 取得最小值的 $X_i$ 是它的准父结点（有多个任取一个）。每次取出 $d=min{slack_j mid Y_j in Y setminus Y‘}$, 用 $d$ 更新点权（顺便更新 $slack$），然后就可以将取得最小值的 $j$（有多个任取一个）加入交错树，$Y_j$ 的父结点就是原准父结点。特别地，当 $d=0$ 是就是继续沿原相等子图扩展。若所加入的 $Y_j$ 还未匹配，则说明已经找到交错路，顺着父结点构成的路径一路修改匹配即可。

在实现上，我们记 $match_j$ 表示 $Y_j$ 的匹配点，$pre_j$ 表示 $Y_j$ 的父结点的匹配点，不存在记为 $0$.

示例代码

示例：假设 $n=m le 500$, 所有边权和答案绝对值小于 $10^{18}$. 输入 $n$ 和边权，输出 $Y_j$ 的匹配点。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 const int N=501;
 3 int n, match[N];
 4 bool vis[N];
 5 long long f[N][N], a[N], b[N], slack[N], pre[N];
 6 template<class T1, class T2> bool cmin(T1 &a, const T2 &b)
 7 {
 8     return b<a?(a=b, true):false;
 9 }
10 template<class T1, class T2> bool cmax(T1 &a, const T2 &b)
11 {
12     return a<b?(a=b, true):false;
13 }
14 int main()
15 {
16     scanf("%d", &n);
17     for(int i=1; i<=n; ++i) {
18         for(int j=1; j<=n; ++j)
19             scanf("%d", f[i]+j);
20         a[i]=*std::max_element(f[i]+1, f[i]+n+1);
21     }
22     for(int i=1; i<=n; ++i) {
23         int x=0, cho;
24         memset(vis+1, 0, n);
25         memset(pre+1, 0, n*sizeof(int));
26         memset(slack+1, 63, n*sizeof(long long));
27         match[0]=i;
28         do {
29             int u=match[x];
30             long long min=1e18;
31             vis[x]=true;
32             for(int v=1; v<=n; ++v) {
33                 if(!vis[v]) {
34                     long long t=a[u]+b[v]-f[u][v];
35                     if(cmin(slack[v], t))
36                         pre[v]=x;
37                     if(cmin(min, slack[v]))
38                         cho=v;
39                 }
40             }
41             for(int j=0; j<=n; ++j) {
42                 if(vis[j]) {
43                     a[match[j]]-=min;
44                     b[j]+=min;
45                 } else
46                     slack[j]-=min;
47             }
48             x=cho;
49         } while(match[x]);
50         while(x) {
51             match[x]=match[pre[x]];
52             x=pre[x];
53         }
54     }
55     for(int i=1; i<=n; ++i)
56         printf("%d%c", match[i], " 
"[i==n]);
57     return 0;
58 }