曲线曲面积分的关系

Posted 2021-03-04 wkfvawl

一、背景

这个周末一直在鼓捣曲线曲面积分的一些题目，个人其实感觉这应该是高等数学中对科研最有用的内容了。学院在安排专业培养的时候给我们17级没有设置大学物理，后面18级恰巧赶上工程认证，安排上了大学物理，当时觉得我们真庆幸，现在来看我要是有点大学物理的知识，对理解曲线曲面积分应该会有很大的帮助。我在理解这些积分是总喜欢从物理意义出发，在B站看了一些科普视频，仍有一些半知不解，在这里先简单介绍一下我的一些认识。

二、曲线曲面积分的关系

 在知乎看到这样一张图

https://www.zhihu.com/question/30310281

很有意思，答主是地铁方面的优秀回答者，于是给出了这样一张地铁路线图，我一眼看过去还以为是自动机~(编译原理学瞎了)。

这张图很简洁，由于答主没有给出文字说明，我在这里对这张图进行一下解释。

将每一种积分看做一个结点，注意到每个结点之间都是双向的。

1、一型曲线积分与定积分

一型曲线积分，也就是对弧长的曲线积分可以直接化开弧长转换成定积分

 2、一型曲线积分与二型曲线积分

一型曲线积分可以和二型曲线积分进行转换

3、二型曲线积分与二重积分

格林公式

二型曲线积分可以通过格林公式转换成二重积分

条件必须是封闭曲线，要注意正方向的选取，以及平面单连通和平面复连通，有时需要取辅助线构成封闭曲线。

斯托克斯公式

斯托克斯公式同格林公式一样，也是将二型曲线积转换成二重积分。但格林公式的曲线是平面有向闭曲线，而斯托克斯公式的曲线是空间有向闭曲线，因而格林公式是斯托克斯公式的一个特例。

4、一型曲面积分与二重积分

一型曲面积分，也就是对坐标的曲面积分可以通过投影直接转换成二重积分

5、一型曲面积分与二型曲面积分

 一型曲面积分可以和二型曲面积分进行转换

6、曲面积分与三重积分

高斯公式

 封闭的曲面积分可以通过高斯公式转换成空间闭区域的三重积分

三、物理意义

未完待续