货车运输

Posted 2020-11-14 ainiyuling

题面

首先便是想到了Floyd的暴力方法，状态转移方程也不难推出：w[i][j]=max(w[i][j], min(w[i][k],w[k][j]));但是n^3n3次方时间复杂度和n^2n2的空间复杂度是显然不可取的。

于是我们思考，可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边，就算有其他的很多条边，这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉，按照这个思路我们便想到了构造最大生成树，将其余的边去除。

得到了这样一个树之后，我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值（即为题中的最大载重），因为这两点之间的路径是唯一的，我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过LCA来做到这一点，我求LCA的方法是先从每一个根节点进行搜索，求出节点深度等信息，然后利用这些信息进行树上倍增。

于是我们可以得出大体思路：首先重新建图，构造出最大生成树，然后在最大生成树上求LCA来回答询问。

#include<cstdio>  
#include<algorithm>  
#include<cstring>  
#include<iostream>  
#define MAXN 10005 
#define INF 999999999
using namespace std; 
struct Edge1{  
    int x,y,dis;
}edge1[50005]; 
struct Edge2{
    int to,next,w;
}edge2[100005]; 
int cnt,n,m,head[MAXN],deep[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN][21],w[MAXN][21];
bool vis[MAXN]; 

void addedge(int from, int to, int w)
{ 
    edge2[++cnt].next=head[from];
    edge2[cnt].to=to;
    edge2[cnt].w=w;
    head[from]=cnt;
    return ;
}

bool CMP(Edge1 x, Edge1 y)
{
    return x.dis>y.dis; 
}

int find(int x){ 
    if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
    return f[x];
}

void kruskal()
{
    sort(edge1+1, edge1+m+1, CMP); 
    for(int i=1; i<=n; i++)
        f[i]=i; 
    for(int i=1; i<=m; i++)
        if(find(edge1[i].x)!=find(edge1[i].y)){
            f[find(edge1[i].x)]=find(edge1[i].y);
            addedge(edge1[i].x, edge1[i].y, edge1[i].dis);
            addedge(edge1[i].y, edge1[i].x, edge1[i].dis);  
        }
    return ;
}

void dfs(int node)
{
    vis[node]=true;
    for(int i=head[node]; i; i=edge2[i].next){ 
        int to=edge2[i].to;
        if(vis[to]) continue;
        deep[to]=deep[node]+1; 
        fa[to][0]=node; 
        w[to][0]=edge2[i].w; 
        dfs(to);
    }
    return ;
}

int lca(int x, int y)
{
    if(find(x)!=find(y)) return -1;
    int ans=INF;
    if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    for(int i=20; i>=0; i--)
        if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]){
            ans=min(ans, w[y][i]);  
            y=fa[y][i]; 
        }
    if(x==y) return ans; 
    for(int i=20; i>=0; i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
            ans=min(ans, min(w[x][i], w[y][i])); 
            x=fa[x][i]; 
            y=fa[y][i]; 
        }
    ans=min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));
    return ans;
}

int main()
{
    int x,y,z,q;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=m; i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        edge1[i].x=x;
        edge1[i].y=y;
        edge1[i].dis=z;
    } 
    kruskal();
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!vis[i]){ 
            deep[i]=1; 
            dfs(i);
            fa[i][0]=i;
            w[i][0]=INF;
        } 
    for(int i=1; i<=20; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++){
            fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1]; 
            w[j][i]=min(w[j][i-1], w[fa[j][i-1]][i-1]);
        }
    scanf("%d",&q);
    for(int i=1; i<=q; i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d
",lca(x,y)); 
    }
    return 0;
}