算法与数据结构常用算法模板1

Posted 2021-03-03 trevo

排序

快速排序算法----分支/双指针算法

在待排序的n个记录中任取一个记录（通常去第一个记录）作为基准

1. 首先把该记录放入适当位置，数据序列被此记录划分为两部分，分别是比基准小和比基准大的记录。

2. 其次对基准两边的序列用同样的策略进行操作

平均时间复杂度O(logn)

? a. 确定分界点 q[l] q[(l + r) / 2] q[r] 中 随机选

? b. 调整区间：区间一分为2 （核心）

? c. 递归处理左右两端

void  quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    //判断边界，如果区间没有数或者只有1个数的话，直接return
    /*递归边界，如果区间没有数或者只有1个数，直接返回
    递归边界, l==r也可以*/
	if(l >= r) return;
	//1. 确定分界点（基准） 注意左右端点一定要写对
    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
    //2. 调整区间，将区间一分为2
    while(i < j)
    {
        //移动i指针
        do i++; while(q[i] < x);
        //移动j指针
        do j--; while(q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i], q[j]);
    }
    //3. 递归处理左右两端
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r); 
    //如果写j,x一定不要选q[r]，否则会有问题
    //如果写i，x不要选x[l]，否则会有边界问题
} 

归并排序算法----分治/稳定排序（排序后相同的值位置没有改变）

多次将两个或两个以上的有序表合并成一个新的有序表

最简单的归并：直接将两个有序的子表合并成一个有序的表

时间复杂度O(nlogn)

1. 确定分界点 mid = ( l + r )/2
2. 递归排序left和right ==> 两个数组都有序
3. 归并===>合二为一 O(n)（核心）

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r)  return;
	//1. 确定分界点
    int mid = l + r >> 1;
    //2. 排序左边和右边
    merge_sort(q, l, mid), merge_sort(q, mid + 1, r);

    //3. 合并两个有序数组
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] < q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
	//如果i或j没有遍历完，就直接追加
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
	//把排好序列的结果再放到q中
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];

}

二分

在一个区间内部，每次选择答案所在的区间

有单调性一定可以二分，没有单调性也可能可以二分

二分的本质：整个区间一分为2，一半满足一半不满足某个性质，二分可以寻找两个性质的边界

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
    	//中间值
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    
        else l = mid + 1;  
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid; // check()判断mid是否满足性质  包含mid
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

高精度

使用数组表示，数组最低位存放个位，依次类推

加法

// C = a + b, a >= 0, b >= 0
vector<int> add_(vector<int> &a, vector<int> &b)
{
    int t = 0;
    vector<int> c;
    for(int i = 0; i < a.size() || i < b.size(); i++)
    {
        if(i < a.size()) t += a[i];
        if(i < b.size()) t += b[i];
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if(t) c.push_back(t);
    return c;
}

减法

//需要考虑A,B的大小，比较A,B大小的函数
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if(A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
        if(A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
    return true;
}



// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub_(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;

    for(int i = 0, t = 0; i < A.size(); ++i)
    {
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if(t < 0) t = 1;
        else t = 0;

    }
    //去掉前导0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
    
}

乘法

vector<int> mul(vector<int> A, int b)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < A.size() || t; ++i)
    {
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return C;
}

除法

vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        t = t * 10 + A[i];
        C.push_back(t / b);
        t %= b;;
    }
    r = t;
    //逆置
    reverse(C.begin(), C.end());
    //去掉前导0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

前缀和差分

前缀和

//利用前缀和求某个数组区间内的和
/*一维
S[i]是a[0]~a[i]的和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
*/

/*二维
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
*/

差分

//利用差分求执行完多个加和操作的数组
/*一维
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
*/

/*二维
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
*/

位算法

//求n的第k位数字: n >> k & 1
//返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

双指针算法

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ )
{
    while (j < i && check(i, j)) j ++ ;

    // 具体问题的逻辑
}
/*
常见问题分类：
    (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
    (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作
*/

离散化

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n
}

区间合并

typedef pair<int, int> PII;
// 将所有存在交集的区间合并
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

参考：acwing