11三个重要统计量的分布

Posted 2021-03-03 rrrrraulista

【11】三个重要统计量的分布(1)

假设检验问题的基础内容，三大抽样分布在多元形态下的推广。

目录

• 【11】三个重要统计量的分布(1)
  • 分量独立的 $n$ 维随机向量$X$的二次型
  • $chi^2 o Wishart$分布
    • 性质

分量独立的 (n) 维随机向量(X)的二次型

(chi^2)得复习节。。。

设(X_isim N_1(mu_i,sigma^2)(i=1,...,n))，且相互独立，记

[X=left[egin{array}{c} X‘_1vdotsX‘_n end{array} ight] ]

则(Xsim N_n(mu=(mu_1,...,mu_n)‘,sigma^2I_n)).

• 当(mu_i=0,(i=1,...,n),sigma^2=1)时（每一个都是标准正态）：

[xi=X‘X=sum_{i=1}^nX_i^2simchi^2(n)（卡方分布） ]

• 当(mu_i=0,sigma^2 eq1)时，（凑成标准正态）

[frac1{sigma^2}sum_{i=1}^nX_i^2=frac1{sigma^2}X‘Xsimchi^2(n) ]

• 当(color{red}mu_i eq0)时，(X‘X)的分布称为非中心(chi^2)分布。

(def)

设 ({r.v.} X_{n imes1}sim N_n(mu,I_n),(mu eq0))，则称 (xi=X‘X) 为服从 (n) 个自由度，非中心参数 (delta=mu‘mu=sum_{i=1}^nmu^2_i) 的 (chi^2) 分布，记为：

[X‘Xsimchi^2(n,delta)color{gray}orcolor{black}chi^2_{n}(delta) ]

(推广)

如何将一般的正态随机向量 (协方差矩阵不是单位阵) 转化成服从 (chi^2)分布。

设(Xsim N_p(mu,Sigma>0)),则(X‘Sigma^{-1}Xsimchi^2(p,delta=mu‘Sigma^{-1}mu)).

由于(Sigma)是正定矩阵，则可以分解为非退化方阵的乘积：(Sigma=CC‘)，则令 (Y=C^{-1}X)，于是有：

[Ysim N(C^{-1}mu,C^{-1}Sigma(C^{-1})‘) ]

因为(Sigma=CC‘)所以，(Ysim N_p(C^{-1}mu,I_n)),且有：

[X‘Sigma^{-1}X=Y‘C‘Sigma^{-1}CY=Y‘Ysim chi^2(p,delta) ]

其中：

[delta=(C^{-1}mu)‘(C^{-1}mu)=mu‘Sigma^{-1}mu ]

• (对称幂等矩阵)

【结论很重要】

设(Xsim N_n(0_n,sigma^2I_n)), (A) 为对称矩阵，(rank(A)=r) ，则二次型：(frac{X‘AX}{sigma^2}simchi^2(r)Leftrightarrow A^2=A).

( ightrightarrows)

因为 (A) 是对称矩阵，所以存在正交阵 (Gamma) 使得：

[Gamma‘AGamma=diag(lambda_1,...,lambda_r,0,...,0) ]

令

[Y=Gamma‘Xsim N_n(0_n,sigma^2I_n)，X=Gamma Y ]

则

[xi=X‘AX/sigma^2=Y‘Gamma‘AGamma Y/sigma^2=sum_{i=1}^rlambda_iY_i^2/sigma^2 ]

且(Y_1,...,Y_r)独立同(N(0,sigma^2))分布，因此，(Y_i^2/sigma^2simchi^2(1),(i=1,...,r)),且相互独立。

(sum_{i=1}^rlambda_iY_i^2/sigma^2)的特征函数为：

[(1-2ilambda_1t)^{-1/2}(1-2ilambda_2t)^{-1/2}...(1-2ilambda_rt)^{-1/2} ]

又因为(xi=X‘AX/sigma^2simchi^2(r)),因此他的特征函数为：

[(1-2it)^{-r/2}=(1-2ilambda_1t)^{-1/2}(1-2ilambda_2t)^{-1/2}...(1-2ilambda_rt)^{-1/2} ]

比较得：(lambda_1=...=lambda_r=1),于是：

[diag(1,...,1,0,...,0)=Gamma‘AGamma=Gamma‘AGammacdotGamma‘AGamma=Gamma‘A^2Gamma ]

所以(A)是对称幂等矩阵。

(leftleftarrows)

对称幂等矩阵的特征值非0即1，且只有r个非0特征值，即：

[Gamma‘AGamma=left[egin{array}{cc}I_r&OO&Oend{array} ight] ]

令(Y=Gamma‘X),则 (Ysim N_n(0_n,sigma^2Gamma‘I_nGamma)=N_n(0_n,sigma^2I_n)).

[frac{X‘AX}{sigma^2}=frac{Y‘Gamma‘AGamma Y}{sigma^2}=frac1{sigma^2}Y‘left[egin{array}{cc}I_r&OO&Oend{array} ight]Y=frac1{sigma^2}sum_{i=1}^rY_i^2simchi^2(r) ]

• (二次型与线性函数的独立性)

设(Xsim N_n(mu,sigma^2I_n))，(A)为(n)阶对称矩阵，(B)为(m imes n)矩阵，令 (xi=X‘AX，Z_{m imes1}=BX) ，若 (BA=O) , 则(BX,X‘AX) 相互独立。

顺序不能换。

• (两个二次型相互独立)

设(Xsim N_n(mu,sigma^2I_n)) , (A,B) 为 (n) 阶对称矩阵，则：

[AB=OquadLeftrightarrowquad X‘AX,,,X‘BX相互独立 ]

(chi^2 o Wishart)分布

设(X_{(alpha)}sim N_p(0,Sigma),(alpha=1,...,n))相互独立，记(X=(X_{(1)},...,X_{(n)})‘)为(n imes p)维矩阵，则称

[W=sum_{alpha=1}^nX_{(alpha)}X_{(alpha)}‘=X‘X ]

的分布为(color{red}Wishart)分布，记为：(Wsim W_p(n,Sigma)).

• 当(p=1)时，(X_{(alpha)}sim N_1(0,sigma^2),W=sum X_{(alpha)}^2simsigma^2chi^2(n)).

一般的，(X_{(alpha)}sim N_p(mu_alpha,Sigma),(alpha=1,...,n))相互独立，记

[M=left(egin{array}{ccc}mu_{11}&cdots&mu_{1p}vdots&&vdotsmu_{n1}&cdots&mu_{np}end{array} ight)=left(egin{array}{c}mu‘_{1}vdotsmu_{n}‘end{array} ight) ]

则称(W=X‘X)服从非中心参数为 (Delta=M‘M=summu_{alpha}mu_{alpha}‘)的非中心威沙特分布，记为(Wsim W_p(n,Sigma,Delta))。

性质

• 设(X_{(alpha)}sim N_p(0,Sigma),(alpha=1,...,n))相互独立,则样本离差阵(A)服从威沙特分布，即：

[A=sum_{i=1}^n(X_{(i)}-overline{X})(X_{(i)}-overline{X})‘sim W_p(n-1,Sigma) ]

• 设 (W_isim W_p(n_i,Sigma),(i=1,...,k))相互独立，则

[sum_{i=1}^kW_isim W_p(n,Sigma) ]

其中 (n=n_1+cdots+n_k).

• 设(p)阶随机阵(Wsim W_p(n,Sigma)).C是(m imes p)常数阵，则(m)阶随机阵(CWC‘)也服从威沙特分布，即：(CWC‘sim W_m(n,CSigma C‘)).
  • (aWsim W_p(n,aSigma),(a>0,为常数));
  • 设 (l‘=(l_1,...,l_p)),则(l‘Wl=xisim W_1(n,l‘Sigma l)),即：(xisimsigma^2chi^2(n)),其中：(sigma^2=l‘Sigma l).
• 分块威沙特矩阵：