计算材料学狄拉克符号补充 矢量与函数的统一性

Posted 2021-03-03 rita-raz-litt

（一）投影算符和单位算符

1.取任意力学量算符的分立本征矢集合：

[mathinner{| i angle}quad iin Z^+ ]

??有投影算符p_i：

[hat{p}_i=mathinner{| i angle}mathinner{langle i |} \space\Rarrforall mathinner{| psi angle}=sum_j c_j mathinner{| j angle} \space\begin{aligned} Rarrhat{p}_imathinner{| psi angle}&=sum_jc_jmathinner{|i angle}mathinner{langle i|j angle}&=sum_jc_jmathinner{| i angle}delta_{ij}&=c_imathinner{| i angle}quad ext{投影到}mathinner{| i angle} ext{方向} end{aligned} \space akequadhat{I}=sum_imathinner{| i angle}mathinner{langle i |} \space\begin{aligned} Rarrhat{I}mathinner{| psi angle}&=sum_i{mathinner{| i angle}(sum_j{c_jmathinner{langle i|j angle}})}&=sum_i c_i mathinner{| i angle}=mathinner{| psi angle}quad{单位算符} end{aligned} ]

??对于任意一组基矢，满足单位算符等式的称为基矢的封闭性或完备性。例如，对于二维直角坐标系：

[mathinner{| 1 angle}= egin{pmatrix} 1 end{pmatrix}quad mathinner{| 2 angle}= egin{pmatrix} 01 end{pmatrix} \space\Rarr sum_imathinner{| i angle}mathinner{langle i |}= egin{pmatrix} 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1&0 end{pmatrix}+ egin{pmatrix} 01 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0&1 end{pmatrix} =egin{pmatrix} 1 & 0 & 1 end{pmatrix} ]

2.考虑函数情形，先考虑x是离散的n个值，函数值为f_n(x_i)：

[mathinner{| f_n angle}= egin{pmatrix} f_n(x_1)f_n(x_2)...f_n(x_n) end{pmatrix}quad mathinner{| x_i angle}=egin{pmatrix} 0...1... end{pmatrix} arr ext{第i行} ]

??易得如下结论:

[mathinner{| x_i angle}mathinner{langle x_i |}=hat{p}_iquadsum_imathinner{| x_i angle}mathinner{langle x_i |}=hat{I}quadmathinner{langle x_i|x_j angle}=delta_{ij} \space\begin{aligned} &mathinner{| f_n angle} &&= &&sum_imathinner{| i angle}mathinner{langle i | f_n angle}&f_n(x_i)mathinner{| x_i angle} &&= &&mathinner{| x_i angle}mathinner{langle x_i | f_n angle}&mathinner{langle f_n |f_n angle} &&= &&mathinner{langle f_n | hat{I} | f_n angle} &&&= && sum_i|f(x_i)|^2&mathinner{langle f_n |g_n angle} &&= &&mathinner{langle f_n | hat{I} | g_n angle} &&&= && sum_i f^*(x_i)g(x_i)&mathinner{| f_n angle}+mathinner{|g_n angle} &&= &&hat{I}(mathinner{| f_n angle}+mathinner{|g_n angle})&&&= && sum_i[f(x_i)+g(x_i)]mathinner{| i angle}&&&= && egin{pmatrix} f_n(x_1)+g_n(x_1)f_n(x_2)+g_n(x_2)...f_n(x_n)+g_n(x_n) end{pmatrix}\end{aligned} ]

??那么，容易拓展到x取R的情况：

[egin{aligned} f(x)&=intdelta(x-x‘)f(x‘)dx‘&=intmathinner{langle x|x‘ angle}mathinner{langle x‘|f angle}dx‘&=mathinner{langle x|hat{I}|f angle}=mathinner{langle x|f angle} end{aligned} \spaceas quad hat{I}=intmathinner{|x‘ angle}mathinner{langle x‘|}dx‘=intmathinner{|x angle}mathinner{langle x|}dx \space\begin{aligned} Rarrmathinner{langle f|g angle} &=mathinner{langle f| hat{I} |g angle}&=intmathinner{langle f|x angle}mathinner{langle x|g angle}dx&=int{f^*(x)g(x)}dx end{aligned} \space akequadhat{p}_{x_0}=mathinner{|x_0 angle}mathinner{langle x_0|} \space\begin{aligned} Rarrmathinner{hat{p}_{x_0}|f angle} &=mathinner{| x_0 angle langle x_0 |f angle}&=f(x_0)mathinner{| x_0 angle} end{aligned} ]

(二)格兰-施密特正交化与勒让德多项式

??设一组向量线性独立而不正交：

[mathinner{| i angle}quad iin Z^+ :sum_i c_i{mathinner{| i angle}}= ot 0quadexists{i_1= ot i_2}Rarrmathinner{langle i_1|i_2 angle}= ot0 ]

??那么有格兰施密特正交化方法：

[egin{aligned} mathinner{| v_i angle} &=mathinner{|i angle}-sum_{n=1}^{i-1}frac{mathinner{langle i|n angle}}{mathinner{langle n|n angle}}mathinner{| n angle}\mathinner{| u_i angle}&=frac{mathinner{|v_i angle}}{sqrt{mathinner{langle v_i|v_i angle}}} end{aligned} ]

??这等效于如下的过程（减去平行分量）：

[egin{aligned} mathinner{|v_1 angle}&=frac{mathinner{|1 angle}}{mathinner{langle 1|1 angle}}\mathinner{| v_i angle}&=mathinner{|i angle}-sum_{n=1}^{i-1}hat{p}_{v_n}mathinner{|i angle}\&=mathinner{|i angle}-sum_{n=1}^{i-1}mathinner{|v_n angle}mathinner{langle v_n|i angle}\mathinner{| u_i angle}&=frac{mathinner{|v_i angle}}{sqrt{mathinner{langle v_i|v_i angle}}} end{aligned} ]

??取泰勒展开式中x幂次为基矢：

[mathinner{| i angle}=x^{i-1}quad iin Z^+ ]

??以[-1,1]为积分区间，对各基矢正交归一化，有：

[egin{aligned} mathinner{| v_1 angle}&=frac{1}{sqrt{2}}\mathinner{| v_2 angle}&=x\mathinner{| v_3 angle}&=x^2-frac{1}{3}&...\Rarrmathinner{| u_1 angle}&=frac{1}{sqrt2}\mathinner{| u_2 angle}&=sqrt{frac{2}{3}}x\mathinner{| u_3 angle}&=sqrt{frac{5}{8}}(x^2-frac{1}{3})&... end{aligned}\]

??u_n(x)即为勒让德多项式的集合。

（三）求特征向量的另两种方法

1.陶哲轩方法（适用于计算机）

??设n阶矩阵A有特征值λ_i，其对应特征向量v_i的第j个分量有如下关系式：

[|v_{ij}|^2prod_{k=1;k= ot i}^n (lambda_i-lambda_k)=prod_{k=1}^{n-1}(lambda_i-mu_{k}) ]

??其中μ_kj是A去掉第j行第j列元素后的主子矩阵M_j（易证这个矩阵必定厄米）的第k个特征值。设二阶矩阵：

[A=egin{pmatrix} mu_2 & xx^* & mu_1 end{pmatrix}Rarr Av_i=lambda_i v_i quad i=1,2\space\Rarr M_1=egin{pmatrix} mu_1 end{pmatrix}quad M_2=egin{pmatrix} mu_2 end{pmatrix}quad ext{特征值显然}\space\begin{aligned} Rarr |v_{11}|^2&=frac{lambda_1-mu_1}{lambda_1-lambda_2}|v_{12}|^2&=frac{lambda_1-mu_2}{lambda_1-lambda_2}|v_{21}|^2&=frac{lambda_1-mu_1}{lambda_2-lambda_1}|v_{22}|^2&=frac{lambda_1-mu_2}{lambda_2-lambda_1}\end{aligned} ]

2.旋转基矢法（二维实矩阵）

??取二维实矩阵Ω和一个旋转矩阵U^t：

[Omega= egin{pmatrix} Omega_{11}&Omega_{12}\Omega_{21}&Omega_{22} end{pmatrix} quadOmega_{12}=Omega_{21} \spaceU^t=egin{pmatrix} cos heta&sin heta-sin heta&cos heta end{pmatrix} \space\Rarr U^tOmega U=egin{pmatrix} cos^2 hetaOmega_{11}+sin^2 hetaOmega{22}+Omega_{12}sin{2 heta}& 2Omega_{12}sin{2 heta}-(omega_{11}-Omega_{22})cos{2 heta}2Omega_{12}sin{2 heta}-(omega_{11}-Omega_{22})cos{2 heta}& sin^2 hetaOmega_{11}+cos^2 hetaOmega{22}+Omega_{12}sin{2 heta} end{pmatrix} \space\overset{对角元为0}{Rarr} heta_0=frac{1}{2}arctanfrac{2Omega_{12}}{Omega_{11}-Omega_{22}} \space\Rarr mathinner{| v_1 angle}=egin{pmatrix} cos heta_0\sin heta_0 end{pmatrix} quad mathinner{| v_2 angle}=egin{pmatrix} -sin heta_0\cos heta_0 end{pmatrix} ]

（四）平面波与高斯函数

??对于一个体系的波函数（未知，通常不能通过求解薛定谔方程得到），可以按某种基矢展开，然后利用变分法的思想，通过线性优化得到收敛的近似波函数。

??在从头算理论中，基矢一般是高斯波函数；而在第一性原理中，基矢一般是平面波函数。

??关于平面波函数的傅里叶展开的狄拉克符号写法：

[k(x)=mathinner{langle x|k angle}overset{def}{=}frac{1}{sqrt{2pi}}e^{ikx}\spacex(k)=mathinner{langle k|x angle}overset{def}{=}frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-ikx}\space\Rarrintmathinner{|k angle}mathinner{langle k|}dk=hat{I}_k \space\begin{aligned} Rarr f(k)&=mathinner{langle k|f angle}&=mathinner{langle k | hat{I}_x | f angle}&=int_inftymathinner{langle k | x angle}mathinner{langle x | f angle}dx&=frac{1}{sqrt{2pi}}int_infty f(x)e^{-ikx}dxf(x)&=mathinner{langle x|f angle}&=mathinner{langle k | hat{I}_k | f angle}&=int_inftymathinner{langle x | k angle}mathinner{langle k | f angle}dx&=frac{1}{sqrt{2pi}}int_infty f(k)e^{ikx}dx\end{aligned}\space\begin{aligned} Rarr f(x)&=frac{1}{2pi}int_infty int_infty f(x‘)e^{-ikx‘}dx‘e^{ikx}dk&=int_infty f(x‘)frac{1}{2pi}int_infty e^{ik(x-x‘)}dkdx‘&=int_infty f(x‘)delta(x-x‘)dx‘ end{aligned} \space\overset{同理}{Rarr}frac{1}{2pi}int_infty e^{i(k-k‘)x}dx=delta(k-k‘) ]

??