圆圈中最后剩下的数字

Posted 2021-03-03 olajennings

0,1,,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

 

示例 1：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3
示例 2：

输入: n = 10, m = 17
输出: 2
 

限制：

1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6
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class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int ans = 0;
        for(int i =2; i <= n; i++){
            ans = (ans+m)%i;
        }
        return ans;
    }
};

解题思路：

这其实是约瑟夫环问题，可以在剑指offer第300页找到。

这道题如果用循环队列或循环链表来模拟的话，会超时，因为对于每一次删除操作，时间复杂度都是O(n)，一共要进行m次，那时间复杂度就是O(mn)，而且还要开一个O(n)的空间存储数据。

这道题正确的做法应该是使用数学方法：
关于证明方法的话，可以参考剑指offer第300页，推导的关键是灵活使用 x = a%n => k*n + x = a这条公式，以及求映射p(x)的逆函数。

归纳的话：

因为每次都会从头开始找到第m个数，然后将其删除。

删除后，把其后面的那个数移动到最前面去，然后接着重复一删-移的过程。

所以我们走到最后，剩下一个元素的时候，他就是我们的答案了。

然后我们可以从最后一个元素反过来往前推导。

最后剩下一个元素的时候，这个元素怎么来的？

在剩下两个元素的时候，删掉另外一个，然后把它往前移动m个位置，它是这么来的。

所以我要复原原本的位置，那就当前位置加上m咯！

假设当前位置是idx，那么还剩两个元素的时候的位置就是idx+m

但要注意这玩意是循环的，所以idx+m可能超过长度2了，所以我们要多2取模

所以在剩下2个元素的时候，它的位置是 (idx+m)%n，其中n=2

这样就形成了递推公式： idx_n = （idx_n-1 + m）% n

所以我们从n=2的时候开始往n计算，特别地，idx₁  = 0。