[算法导论]#3 循环不变式

Posted 2021-03-03 smallocean

在面试某手的时候，完成了一个有序链表的合并，之后面试官又要求用循环不变式来证明算法的正确性……循环不变式？这是啥

后来发现这是算法导论第一章的内容。

不会=算法导论没看

分析过程

必须证明三条性质

• 初始化：循环的第一次迭代之前，它为真
• 保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真
• 终止：在循环终止时，不变式为我们提供了一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的

前两步有点类似于数学归纳法，而最后一步其实也很重要，因为算法并不是无穷无尽的，必须要终止。例如二分，终止条件非常重要。

以插入排序为例

for(i = 2;i <= n;++i){
    key = a[i];
    j = i - 1;
    while(j > 0 && a[j] > key){
        a[j+1] = a[j];
        j--;
    }
    a[j] = key;
}

在一个有序的数列里插入一个数，插到正确的位置同时比它大的后移，就是这个算法的思想

那就按照循环不变式这个算法的正确性

• 初始化：很明显在循环之前((i<2))第一个数是单独的，肯定有序
• 保持：这个算法会将比key大的数都往右移动一个位置，然后将key插入到正确的位置中，这时数组1-i是有序的。
• 终止：循环结束后，(i=n+1)因此保证了1-n是有序的，每个元素都是a中原先的元素，但是拍好序了。因此算法正确。

这个证明不是太数学，而是比较感性的，但也可以说明问题

以二分为例

之前说过，一个二分算法的正确性，终止条件很重要

https://www.cnblogs.com/smallocean/p/11913963.html 这是之前做过二分的笔记

• 在单调递增序列(a)中查找$geq x $的数中最小的一个

  while(l<r){
      int mid = (l+r)>>1;/*右移运算 相当于除2并且向下取整*/
      if(a[mid]>=x) r=mid;
      else l=mid+1;
  }
  return a[l];

1. 初始化：待查数组范围是(l(1)-r(n))，待查元素key如果存在必定在该范围内
2. 保持：当符合题意时，范围变成(l...mid)；当不符合题意时，范围变成(mid+1...r);这是对的
3. 终止：什么时候停止呢？如果(l=2,r=3)mid会取(l)如果mid满足题意，会导致(l==r)，这时应该终止，找到答案了。否则，也会导致(l==r)。所以终止条件就是(lgeq r)的时候

• 在单调递增序列(a)中查找(leq x)的数中最大的一个

  while(l<r){
      int mid = (l+r+1)>>1;
      if(a[mid]<=x) l=mid;
      else r=mid-1;
  }
  return a[l];

1. 初始化：待查数组范围是(l(1)-r(n))，待查元素key如果存在必定在该范围内
2. 保持：当符合题意时，范围变成(mid...r)；当不符合题意时，范围变成(mid+1...r);这是对的
3. 终止：如果(l=2,r=3)mid会取(r)，如果mid满足题意，会导致(l==r)，这时应该终止，找到答案了。否则，也会导致(l==r)。所以终止条件就是(lgeq r)的时候。如果说依然是(l+r)>>1那么会取到(l)，如果(l)满足，那么将陷入死循环。

有一篇总结很好的文章：https://blog.csdn.net/ltyqljhwcm/article/details/52772002

总结

总的来说循环不变式是一个很好的思想，能帮助我们证明算法的正确性。前两步的类似数学归纳的方法和终止时候的正确性，其实在平时写代码的时候也会不经意间用到类似的方法来想。这次把这种思路书面化，以后也不会再走很多弯路了。