最近对算法

Posted 2021-03-02 powerkeke

1. 问题

　　设p1=(x1,y1),p2=(x2,y2)...pn=(xn,yn)是平面n上n个点构成的集合S，最近对问你就是找出集合S中距离最近的点对。

 

2. 解析

　　采用分治法。

 　　（1）划分：将集合S分成两个子集S1和S2，根据平衡子问题原则，每个子集中大约有n/2个点，设集合S的最近点对是pi和pj(1<=i,j<=n）

　　则有以下三种情况 1.pi∈S1,pj∈S1

   　　　　　　　　　 2.pi∈S1,pj∈S2

                     　　　　 3.pi∈S2, pj∈S2

　　（2）求解子问题：对于划分阶段的情况1和2可递归求解

　　　　通过直线x=M（中位数）,将空间划为两部分,x<M和x>M分别求出左右最近点对距离，d1,d2,另d=min(d1,d2)则，只需考虑3,即x-d和xd的区域之间的最近点对，按照Y坐标对区域内点进行排序，如果一个点对的距离小于d,他们一定在d*(2*d)的区域内。

 

3. 设计

　　1.预处理：对点集合S={(x1,y1),(x2,y2)......(xn,yn)}按照x坐标升序排列

　　2.如果n=2，则返回连点之间距离

　　3.计算{(x1,y1),(x2,y2).....(xm,ym)}之间的最近距离d1

　　　　计算{(xm,ym)(xm+1,ym+1)....(xn,yn)}之间的最近距离d2

　　　　d=min(d1,d2)

　　4.依次计算S[l...r]的最近点对（将集合按照y升序排列，考察y-s[m].y<d的点）

　　　　l=min(i)| S[m]-S[i]<d

　　　　r=max(i)| S[i]-S[m]<d

 

4. 分析

　　O(nlogn)

 

5. 源码

/*
author: keke
project name:最近对算法 
Time Complexity: O(nlogn)
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int INF = 0x7fffffff;
int n;
struct Point {
    double x,y;
    Point(double x=0, double y=0):x(x),y(y) {}
    bool operator < (const Point& p) const {
        if(x != p.x)return x < p.x;
        else return y < p.y;
    }
} p[200000+5],temp[200000+5];
bool cmpy(Point a, Point b) {
    return a.y < b.y;
}
double Dis(Point a, Point b) {
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double Closest_Pair(int left, int right) {
    double d = INF;
    if(left == right)
        return d;
    if(left +1 == right)
        return Dis(p[left],p[right]);
    int mid = (left+right)>>1;
    double d1 = Closest_Pair(left,mid);
    double d2 = Closest_Pair(mid,right);
    d = min(d1,d2);
    int k = 0;
    for(int i = left; i <= right; i++) {
        if(fabs(p[mid].x - p[i].x) <= d)
            temp[k++] = p[i];
    }
    sort(temp,temp+k,cmpy);
    for(int i = 0; i < k; i++) {
        for(int j = i+1; j < k && temp[j].y - temp[i].y < d; j++) {
            double d3 = Dis(temp[i],temp[j]);
            d = min(d,d3);
        }
    }
    return d;
}
int main() {
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++) {
        double a,b;
        scanf("%lf%lf",&a,&b);
        p[i] = Point(a,b);
    }
    sort(p,p+n);
    printf("%.3f",Closest_Pair(0,n-1));
}