[常见做法整合]CSP-S2019 D2T3 树的重心

Posted 2021-03-02 topsecret

CSP-S2019 D2T3 树的重心(centroid)

本题解是题解栏内一些常见思路的集合。

为了篇幅紧凑，在一些地方我可能跳过了证明/阐述的不是怎么详细，如果希望看到某一个思路的详细阐述/代码，可以点击相关的超链接。

思路

本题的部分分启发我们去找性质：

1. 链的部分分启发我们去考虑树链剖分。
2. 二叉树的部分分启发我们去考虑以重心为根的情况。
3. 由于要同时考虑子树与外子树的情况，这启发我们想到换根法。

性质：

1. 重心(u)在根节点所在的重链上。
2. 若(uin son_{rt})，(v)为(u)的重心，则(rt)的重心为(v)的祖先。
3. 若(u)为重心，只有(u)的重儿子（或父亲）有可能是重心。

计数方法：

1. 对于每一个点，我们计算它作为重心的次数：这会导致实现偏向数据结构（BIT、可持久化线段树、树状数组等）。
2. 对于每一个分割，我们去找两课树的重心：这回导致实现偏向图论类方法（树链剖分、找重儿子、倍增等）。

方法0：考虑点，只考虑定义

代码 类似思路的题解

考虑一个点(u)，我们想要知道，它会成为几次重心。

将树在(u)处定根，设其最大的子树大小为(S=siz_w)，则可以分为两种情况：

1. 删去的边不在(tree_w)中，(tree_v otsubseteq tree_w)：则(siz_vle n-2S)时，(u)成为重心。
2. 删去的边在(tree_w)中：设除了(tree_w)最大的子树大小为(T)，则(2S-nle siz_vle n-2T)时(u)成为重心。

因此，我们考虑处理出以(u)为根，各个儿子的({siz})的可重集合的情况，再查询一段区间内的(siz)的个数即可。

维护方法

可以用可持久化线段树（可能可以线段树合并/将所有查询离线化）维护。

特别地，(fa_u)的情况，相当于(tree-anc_u-tree_u)与({u}+anc_u-{rt})取反。（其中，(anc_u)表示(u)的所有祖先节点）

方法1：考虑点，以重心为根

我们先找到重心(rt)，并以它作为根。这样和随意选根有什么区别呢？

性质：若(x e rt)为重心，则删去的边((u,v))一定不在(tree_x)内。

因此，对一个点(u e rt)，他作为重心仅当删去了一条边((x,y))，且：((x,y))不在(tree_u)内，(n-2s_xle Sle n-2g_x)。（设树减少的大小为(S)）

对于根的情况，可以另外（分成割去的边在重儿子子树内与不在重儿子子树内）判断。

可以用树状数组维护，具体见这篇题解。

方法2：考虑边

考虑一种删边情况，我们需要快速求出，划分后的所有重心。

考虑如何求一棵树的重心：因为重心一定在根节点所在重链上，从根一直跳重儿子，直到找到最深的(v)使得，(2s_v > s_u)，则(v)（可能还有它的重儿子）为重心。此过程可以用倍增加速。

由这种做法，我们可以在树链剖分，并预处理倍增数组之后(O(log n))地求出任何子树的重心。

某高赞题解的变体

我们考虑一个划分((u,v))，不妨设(dep_u>dep_v)：

考虑如何求(tree_u)的重心：我们从(u)出发，一直向重儿子跳，跳到找到重心（即，重儿子的子树大小不超过原树的一半）为止。

考虑如何求出(tree-tree_u)的重心：我们先将根换到(v)处（此时只改变了两个节点的关系），这样实际上就相当于求(tree_u)的重心！

具体实现在此。

方法3：考虑边，某神奇的(O(n))做法

就如之前所说的，可以在(O(n))计算出所有子树的重心，但是很难对去掉子树的部分找到一个重心单调移动的计算序列……

以重心为根，考虑删去的边在哪棵子树内：

1. 不在重儿子的子树内：则枚举所有可能的子树大小，在根所在的重链上面走就好了。
2. 在重儿子的子树内：
   1. 重儿子仍然为重儿子：此时，根仍然为重心。
   2. 次重儿子变为了重儿子：在次重儿子的重链上走即可。

这样就用纯图论方法完成了这题。

参考资料

• https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P5666
• https://dra.blog.luogu.org/solution-p5666
• https://www.luogu.com.cn/blog/xht37/solution-p5666
• https://www.luogu.com.cn/blog/soaring/solution-p5666
• https://loj.ac/submission/717065
• https://www.luogu.com.cn/blog/qzh/p5666-shu-di-zhong-xin