量子力学自旋与全同体系

Posted 2021-03-02 rita-raz-litt

（一）电子自旋

??电子自旋最早由乌伦贝克（Uhlenbeck)和哥德斯密托（Goudsmit）提出，他们认为电子具有自旋角动量，在任意一个方向上的投影都为：

[S_z=pmfrac{hbar}{2} ]

??对于电子来说，其旋磁比和磁矩为：

[M_s=-frac{e}{m_e}vec{S} Rarr M_z=mpfrac{ehbar}{2m_e}=mp M_B(玻尔磁子) ]

??值得注意的是，自选是粒子的固有性质，而不是由粒子自身旋转产生的。否则电子旋转表面切速度远大于光速，这与相对论是矛盾的。

1.自旋算符、泡利矩阵及其本征函数

[ ext{自旋算符} egin{cases} hat{S}_x=frac{hbar}{2} egin{pmatrix} 0&11&0\end{pmatrix}&=frac{hbar}{2}sigma_x\hat{S}_y=frac{hbar}{2} egin{pmatrix} 0&-ii&0\end{pmatrix}&=frac{hbar}{2}sigma_y\hat{S}_z=frac{hbar}{2} egin{pmatrix} 1&0&1\end{pmatrix}&=frac{hbar}{2}sigma_y\end{cases} quadsigma_i为泡利矩阵 \space\Rarr egin{aligned} &chi_{frac{1}{2}}^x=frac{1}{sqrt{2}} egin{pmatrix} 1\1 end{pmatrix} &&chi_{-frac{1}{2}}^x=frac{1}{sqrt{2}} egin{pmatrix} 1\-1 end{pmatrix}&chi_{frac{1}{2}}^y=frac{1}{sqrt{2}} egin{pmatrix} 1\i end{pmatrix} &&chi_{-frac{1}{2}}^y=frac{1}{sqrt{2}} egin{pmatrix} 1\-i end{pmatrix}&chi_{frac{1}{2}}^z=frac{1}{sqrt{2}} egin{pmatrix} 1\0 end{pmatrix} &&chi_{-frac{1}{2}}^z=frac{1}{sqrt{2}} egin{pmatrix} 0\1 end{pmatrix} end{aligned} ]

??它们具有如下性质：

[hat{S}_i^2=frac{hbar^2}{4}quadhat{sigma_i}^2=1\space\Rarr hat{S}^2=sum_ihat{S}_i^2=frac{3}{4}hbar^2=frac{1}{2}(frac{1}{2}+1)hbar^2 \space\text{反对易} egin{cases} hat{S}_ihat{S}_j+hat{S}_jhat{S}_i=0\hat{sigma}_ihat{sigma}_j+hat{sigma}_jhat{sigma}_i=0 end{cases} \space\text{对易关系} egin{cases} [hat{S}_i,hat{S}_j]=ihbarhat{S}_k[hat{sigma}_i,hat{sigma}_j]=2i hat{sigma}_k end{cases} Rarr egin{cases} hat{vec{S}} imeshat{vec{S}}=ihbarhat{vec{S}}\hat{vec{sigma}} imeshat{vec{sigma}}=2ihat{vec{sigma}} end{cases} ]

2.引入自旋的电子波函数

??当自旋不足以影响轨道运动时，新的波函数为：

[Psi(vec{r},s_z,t)= (Psi_{nlm},Psi_{n‘l‘m‘})(c_1chi_{frac{1}{2}}^z+c_2chi_{-frac{1}{2}}^z)= egin{pmatrix} c_1Psi_{nlm}c_2Psi_{n‘l‘m‘} end{pmatrix} \space\mathinner{langle Psi|Psi angle}=|c_1|^2+|c_2|^2=1 \space\begin{aligned} &|c_1|^2 arr找到frac{hbar}{2}电子的概率&|c_2|^2 arr找到-frac{hbar}{2}电子的概率 end{aligned} ]

??但是当影响较强时，只能写为：

[Psi(vec{r},s_z,t)=egin{pmatrix} c_1Psi(vec{r},frac{hbar}{2},t)quad\c_2Psi(vec{r},-frac{hbar}{2},t) end{pmatrix} ]

3.实例——斯特恩-盖拉赫实验与简单塞曼效应

??对于沿z轴强外磁场B中的氢原子：

[hat{H}=-frac{hbar^2}{2m_e} abla^2+frac{e_s^2}{r}+frac{eB}{2m_e}(hat{L}_z+2hat{S}_z) \space\Rarr hat{H}psi_{pm}= egin{cases} [-frac{hbar^2}{2m_e} abla^2+frac{e_s^2}{r}+frac{eB}{2m_e}(hat{L}_z+hbar)]psi_+[-frac{hbar^2}{2m_e} abla^2+frac{e_s^2}{r}+frac{eB}{2m_e}(hat{L}_z-hbar)]psi_- end{cases} ]

??由于氢原子波函数ψ_nlm是其能量和轨道角动量z轴分量的本征函数，故有:

[hat{H}psi_{pm}= egin{cases} [E_n+frac{eBhbar}{2m_e}(m+1)]psi_{nlm}[E_n+frac{eBhbar}{2m_e}(m-1)]psi_{nlm} end{cases} ]

??对于其他类氢原子来说，由于势场不是标准的中心势场，能级随轨道角动量劈裂，只需要把E_n改为E_nl即可。

??对于l=0，m=0，即s态的电子，其能级在外磁场中劈裂为两条，这就是斯特恩-盖拉赫实验；对于l=1，m=0或±1，即p态的电子，其能级在外磁场中劈裂为5条（除s态外总为奇数），能量间隔为正常旋磁比γ乘以外磁场强度，这就是简单塞曼效应。

??只考虑同自旋态间的跃迁，由于不同m的能量发生劈裂，则对应光谱线3（或2l+1）条。

（二）无耦合表象与耦合表象

1.不同角动量及它们分量的对易关系

??对于任何分立的角动量：

[hat{vec{J}_i} imeshat{vec{J}_i}=ihbarhat{vec{J}_i} \space[hat{vec{J}_i},hat{vec{J}_j}]=delta_{ij} \space ake quad hat{vec{J}}=hat{vec{J}_1}+hat{vec{J}_2} \space\begin{aligned} &Rarr &&hat{vec{J}} imeshat{vec{J}}=ihbarhat{vec{J}}&Rarr &&[hat{J^2},hat{vec{J}}]=0&Rarr &&[hat{J^2},hat{vec{J}_1}]= ot 0quad[hat{J^2},hat{vec{J}_2}]= ot 0&Rarr &&[hat{J^2},hat{J_1^2}]=[hat{J^2},hat{J_2^2}]=0&Rarr &&[hat{J_z},hat{J_1^2}]=[hat{J_z},hat{J_2^2}]=0 end{aligned} ]

2.无耦合表象（对应简单塞曼效应）

??对于耦合不强的两个分立角动量其z分量仍与哈密顿量对易，则易证：

[[hat{J}_{1z},hat{J^2_1}]=[hat{J}_{2z},hat{J^2_2}]=0 ]

??从而有分立角动量J₁，J₂及他们的z分量两两对易，构成力学量完全集。其函数空间的维度：

[dim(mathinner{| j_1,j_2,m_1,m_2 angle})=(2j_1+1)(2j_2+1) ]

3.耦合表象

??在分立角动量耦合较强时，体系哈密顿量含有耦合项，与分立角动量的z分量不对易，分力角动量对应的磁量子数不是好量子数。但是总角动量的z分量与哈密顿量对易，又有：

[[hat{J^2},hat{J_z}]=0 ]

??从而分立角动量、总角动量及总角动量z分量两两对易，构成力学量完全集，其函数空间的维度为：

[dim(mathinner{| j_1,j_2,j,m angle})=sum_{|j_1-j_2|}^{j_1+j_2}(2j+1)=(2j_1+1)(2j_2+1)quad不变！ ]

4.实例——复杂塞曼效应与光谱精细结构

??以下推导不详细，有很多模糊不清的地方，可以不看。

??外弱磁场下，类氢原子的轨道角动量与自旋存在耦合：

[hat{H}‘=xi(vec{r})hat{vec{L}}cdothat{vec{S}} \space\Rarrhat{H}=hat{H}_0+hat{H}‘=-frac{hbar^2}{2m_e} abla^2+frac{Ze_s^2}{r}+xi(vec{r})hat{vec{L}}cdothat{vec{S}} ]

??取耦合表象，但把其中的自旋（其量子数s必为1/2）替换为哈密顿量，仍然构成力学量完全集。其本征矢为：

[mathinner{| N,L,J,M angle} \space akequad hat{H_0}mathinner{| n,l,j,m angle}=E_{n}^{(0)}mathinner{| n,l,j,m angle} ]

??由微扰理论，微扰矩阵元：

[egin{aligned} (H‘)_{l‘j‘m‘,ljm}&=mathinner{langle n,l‘,j‘,m‘ | hat{H}‘ | n,l,j,m angle}&=int_0^infty R_{nl}^2xi(vec{r})r^2drmathinner{langle l‘,j‘,m‘ | vec{L}cdotvec{S} | l,j,m angle}&=frac{hbar^2}{2}[j(j+1)-l(l+1)-frac{3}{4}]delta_{ll‘,jj‘,mm‘}I_{nl}(vec{r}) end{aligned} ]

??又由简并微扰理论知，能量的一级修正应为：

[E_{nlj}^{(1)}=frac{hbar^2}{2}[j(j+1)-l(l+1)-frac{3}{4}]I_{nl}(vec{r}) ]

??对于氢原子，同一能级轨道角动量的简并消除了。

??对于钠原子的3p轨道：

[n=3 quad l=1 quad s=pmfrac{1}{2}Rarr j=frac{1}{2}或frac{3}{2} \spaceE_{31frac{1}{2}}=frac{hbar^2}{2}[frac{1}{2}cdotfrac{3}{2}-1cdot2-frac{3}{4}]I_{31}(vec{r})=-hbar^2I_{31}(vec{r}) \spaceE_{31frac{3}{2}}=frac{hbar^2}{2}[frac{3}{2}cdotfrac{5}{2}-1cdot2-frac{3}{4}]I_{313}(vec{r})=frac{hbar^2}{2}I_{31}(vec{r}) ]

??这对应了钠双黄线，是光谱的精细结构。

（三）全同粒子体系及其波函数

1.全同粒子及其波函数的性质

??全同粒子：质量、电荷、自旋等固有属性 完全相同的微观粒子。

??全同性原理：在全同粒子构成的体系中，交换两个粒子不引起状态的变化：

[hat{H}(q_i,q_j,q_Sigma,t)=hat{H}(q_j,q_i,q_Sigma,t) \spaceihbarfrac{partial}{partial t}Psi(q_i,q_j,q_Sigma,t)=hat{H}(q_i,q_j,q_Sigma,t)Psi(q_i,q_j,q_Sigma,t) \spaceihbarfrac{partial}{partial t}Psi(q_j,q_i,q_Sigma,t)=hat{H}(q_j,q_i,q_Sigma,t)Psi(q_j,q_i,q_Sigma,t) \space\Rarr Psi_{ij}=cPsi_{ji}quad描述同一个态 \space\Rarr Psi_{ij}=c^2Psi_{ij}(why?)Rarr c=pm1 \space\Rarr egin{cases} psi_{ji}=psi_{ij}&交换对称函数&(玻色子)\psi_{ji}=-psi_{ij}&交换反对称函数&(费米子) end{cases} ]

??对称性守恒：

[Psi(t_0+dt)=Psi(t)+(frac{partial Psi}{partial t})_{t_0}dt=Psi(t_0)+frac{1}{ihbar}hat{H}Psi(t_0) ]

2.无相互作用全同粒子体系波函数

[sum_ihat{H_i}psi=sum_iE_ipsiRarrpsi=sum_{p(j)}c_{p(j)}prod_ipsi_j(q_i) ]

??其中p(j)表示各种波函数的排列组合，其系数为c_p(j)。

??对于一个两粒子体系来说：

[Psi_S(q_1,q_2)=frac{1}{sqrt{2}}[psi_1(q_1)psi_2(q_j)+psi_1(q_2)psi_2(q_1)]quad对称 \space\Psi_A(q_1,q_2)=frac{1}{sqrt{2}}[psi_1(q_1)psi_2(q_2)-psi_1(q_2)psi_2(q_1)]quad反对称 \spaceifquad psi_1=psi_2Rarrpsi_A=0 ]

??故而费米子不能占据同一量子态（泡利不相容原理）。对于多粒子体系来说是类似的：

[Psi_A(q_j)=frac{1}{sqrt{N!}}det|{psi_i(q_j)}| quad||内为Slater行列式 \space\Rarr changespace q_i,q_j quad Psi_A‘=-Psi_A \spaceifquadpsi_i=psi_j Rarr Psi_A=0 ]

3.两电子自旋函数

[egin{aligned} &&&波函数组合&&对称性&&s^2=s(s+1)hbar^2&&s_z=mhbar&&mathinner{| s,m angle}&chi_S^{(1)}&&chi_{frac{1}{2}}(s_{1z})chi_{frac{1}{2}}(s_{2z})&&对称&&s^2=2hbar^2&&s_z=hbar&&mathinner{| 1,1 angle}&chi_S^{(1)}&&chi_{-frac{1}{2}}(s_{1z})chi_{-frac{1}{2}}(s_{2z})&&对称&&s^2=2hbar^2&&s_z=-hbar&&mathinner{| 1,-1 angle}&chi_S^{(1)}&&frac{1}{sqrt{2}}[chi_{frac{1}{2}}(s_{1z})chi_{-frac{1}{2}}(s_{2z})&&对称&&s^2=2hbar^2&&s_z=0&&mathinner{| 1,0 angle}&&&+chi_{-frac{1}{2}}(s_{1z})chi_{frac{1}{2}}(s_{2z})]&chi_S^{(1)}&&chi_{frac{1}{2}}(s_{1z})chi_{-frac{1}{2}}(s_{2z})&&反对称&&s^2=0&&s_z=0&&mathinner{| 0,0 angle}&&&-chi_{-frac{1}{2}}(s_{1z})chi_{frac{1}{2}}(s_{2z})] end{aligned} ]

??前三者为自旋三重态，最后一个是自旋单态。