UVA 11361 Investigating Div-Sum Property

Posted 2021-03-02 sahdsg

https://vjudge.net/problem/UVA-11361

题目

求[a,b]范围内，满足

1. 它是k的倍数
2. 它每一位和是k的倍数

有多少个数字。

$1leqslant aleqslant b<2^{31}$,$0<K<10^4$

题解

让人难过的数位dp

设一个数字形状是 /?????(*)/ ，没有前导零，括号内的部分是自由的数，其余部分是固定的数

比如32345就可以分为一系列这样的数

$32345()quad32344()cdotsquad32341()$

$32340()quad3233(*)quad3232(*)quad3231(*)$

$3230(*)quad322(**)quad321(**)$

$320(**)quad31(***)$

$30(***)quad 2(****)quad1(****)$

然后还有一些位数不足5位的数字

$?(*)quad ?(**)quad ?(***)$

这样就可以枚举出所有小于等于x的数字，循环次数为“各位的和”，时间复杂度$mathcal{O}(log n)$

设f[x][m1][m2]为有x个自由的数，每一位和取模是m1，将自由的数设为0，然后这个数取模是m2，这种数字有多少个符合要求的

那么就可以用加法原理解了

还有个问题，根据贪心，K大于82时答案肯定为0，所以可以存下f数组

这个写法比较麻烦，特别时枚举部分，而且还慢（因为把不需要使用的f也算出来了），只是为了弄清楚枚举“模板”怎么写

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#define REP(i,a,b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
int f[10][107][107];
int ten[10]={1,10,100,1000,10000,int(1e5),int(1e6),int(1e7),int(1e8),int(1e9)};
int k;
inline void calcf() {
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0][0][0]=1;
	REPE(i,1,9) REP(a,0,k) REP(b,0,k) REPE(z,0,9) { //?*10^i
		int na=(a+z)%k, nb=(b+ten[i-1]%k*z)%k;
		f[i][a][b]+=f[i-1][na][nb];
	}
}
int F(int x) {
	int w=0,t=x,ans=0,m1,m2,tt;
	while(t>0) {//枚举位数相同的数
	//把后缀有0的数放在前面计算的原因是避免开头就是后缀有0的数
		m1=0,m2=t*ten[w];
		tt=t;
		while(tt>0) {
			m1+=tt%10;tt/=10;
		}
		ans+=f[w][m1%k][m2%k];
		while(t%10==0) { t/=10, w++; }
		t--;
		while(t%10>0) {
			m1=0,m2=ten[w]*t;
			tt=t;
			while(tt>0) {m1+=tt%10; tt/=10;}
			ans+=f[w][m1%k][m2%k];
			t--;
		}
	}
	REP(i,0,w) REPE(z,1,9) { //枚举位数较小的数
		ans+=f[i][z%k][ten[i]*z%k];
	}
	return ans;
}
int main() {
	int T; scanf("%d", &T);
	while(0<T--) {
		int a,b;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &k);
		if(k>82) {puts("0"); continue;}
		calcf();
		int ans=F(b)-F(a-1);
		printf("%d
", ans);
	}
}