知识点拾遗

Posted 2021-03-02 wzzyr24

随便写写……

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波兰表达式

后缀表达式求值：扫描式子，遇到数字压入栈，否则弹出两个数，将运算后的结果压入栈。
中缀转后缀：扫描式子，遇到数字直接输出；遇到左括号直接入栈；遇到右括号不断弹栈并输出直到遇到左括号；遇到运算符，只要栈顶运算符优先级不低于新符号（( imes/div > +/-)），就不断弹栈并输出，最后把新符号入栈。

四边形不等式

如果 (forall a<b)，都有 (w(a,b+1)+w(a+1,b)ge w(a,b)+w(a+1,b+1)) 成立，则称 (w) 满足四边形不等式。
一维决策单调性定理：对于方程 (f(i)=minlimits_{0le j<i}{f(j)+w(j,i)})，如果 (w) 满足四边形不等式，则 (f) 具有决策单调性。
对于方程 (f(i,j)=minlimits_{ile k<j}{f(i,k)+f(k+1,j)+w(i,j)})（特别地，(w(i,i)=f(i,i)=0)），如果 (w) 满足四边形不等式，且 (forall ale ble cle d)，都有 (w(a,d)ge w(b,c))，则 (f) 也满足四边形不等式。
二维决策单调性定理：对于上面的方程，如果 (f) 满足四边形不等式，设 (p(i,j)) 为 (f(i,j)) 取到最优解的 (k) 值，则有 (p(i,j-1)le p(i,j) le p(i+1,j))。
以上所有式子的 (min) 都可以换成其他操作。

二分图的若干性质

二分图的最小点覆盖数等于最大匹配数。
二分图的最大独立集等于总点数减去最小点覆盖数或最大匹配数。
无向图的极大子完全图为最大团。
无向图的最大团等于其补图的最大独立集。
DAG 的最小路径点覆盖等于其拆点二分图的最大匹配。
对于一般有向图，应先将其做传递闭包后再求解最小路径点覆盖。