CF1332 简要题解

Posted 2021-03-02 suwakow

决定了……以后每场 CF/atc 都写题解好了。

希望不会咕

• A

注意 (x_1=x_2) 或者 (y_1=y_2) 的时候任何该方向的移动都不合法即可，其余只需判断终点是否在范围内。

• B

由于 (a_ileq 1000)，且都是合数，因此至少有一个质因子 (pleq sqrt{1000}leq 32)。打一下质数表发现恰好 (11) 个，对每个质数染色它的倍数即可。

• C

和字符串完全没关系的一题。由回文串和 border 的性质（题面里都写出来了……）可以直接判断哪些位置必须相等，并查集缩起来之后贪心决定每个块的值即可。

• D

比较有趣的一题，构造矩阵来 “欺骗” 写假了的 dp。思路是构造一条 (2^x) 的路径，并在终点处将它阻断，从而使较低位成为真正的答案。设 (x=2^{17})，则 (k<xleq 3 imes 10^5-k)，有：

[left[ egin{array}{ccc} x+k & k & 0 \ x & x+k & k\ end{array} ight] ]

可以发现，dp 过程中的 (f_{2, 2}=x, f_{2, 3}=0)，而真正的答案是 (k)。

• E

将棋盘黑白染色后，设黑色格子的高度和为 (b)，白色格子的高度和为 (w)，考虑两种操作的本质：

1. 给 (b, w) 分别 (+1)；
2. 给 (b) 或 (w+2)。

显然操作不会改变 (|b-w|) 的奇偶性。

对于 (nm) 是奇数的情况，最终 (|b-w|) 的奇偶性可以任意，因为黑白格子数必然不同，可以让多出来的格子任意填充。可以发现对于任意的初态都可以构造出解。

对于 (nm) 是偶数的情况，显然黑白格子个数相同，也就是说，最终 (|b-w|) 必须为 (0)。可以发现，对于 (frac{nm}{2}) 个黑格子和 (frac{nm}{2}) 个白格子，都可以任意填充，只需要保证 (bequiv wpmod 2) 即可。用矩阵快速幂可以加速上述 dp 过程。

• F

并不算难的树 dp。

设 (f_{i, 0/1/2}) 表示以 (i) 为根的子树，只考虑 (i) 与儿子之间的边时，(i) 点不在生成子图中/在生成子图中，但是不在独立集中/在独立集中的方案数。

转移时枚举 (i) 点与儿子之间的边是否被选即可，需要保证每个 (1/2) 的状态只在第一次连接与儿子之间的边时被算到。注意如果儿子状态是 (0)，且这条边被选，则儿子会被加入生成子图，此时还需要根据当前点的状态决定儿子是否在独立集中。转移方程详见代码。

• G

手玩一下（或者观察到输出总量是 (kq) 级别）可以发现，(kleq 4)。

对于 (k=3) 的情况，不妨设 (b_1, b_3< b_2)，只需要在每个位置找出左右两边最近的，小于它的数即可。可以用权值线段树维护每个数最后出现的位置，注意到权值下标只需要小于某个值，即单点加整数，维护前缀最大值，因此树状数组也可以胜任。这样只有 (O(n)) 个三元组，将每个组挂在 (b_3) 的位置，做一遍扫描线即可。(b_1, b_3>b_2) 的情况是对称的。

发现合法的 (k=4) 一定满足 (b_1, b_4in left(min(b_2, b_3),max(b_2, b_3) ight))。不妨设 (b_1geq b_4)，考虑从左到右枚举 (b_4)，寻找最靠右的合法 (b_1)。

由于 (min(b_2, b_3)<b_4leq b_1<max(b_2, b_3))，设 (x) 是当前位置左边最后一个满足 (a_x< b_4) 的位置，发现 (a_x=min(b_2, b_3)) 一定满足条件且最优。可以用 (k=3) 时的树状数组简单地找到 (x)。

对于 ([1, x)) 的每一个 (i)，若 (b_1=a_i)，则需要在它右边找到一个 (y) 使得 (a_i<a_y)，即 (max(b_2, b_3)=a_y)。发现此处的 (y) 可以任意选择，只要保证 (y>i) 且 (a_y>a_i) 即可。注意此处并没有限制 (x, y) 的位置关系，因此可以将每个候选的 (a_i) 用小根堆维护，在每一次枚举 (b_4) 的最后，判断当前位置是否可以成为堆顶 (a_i) 的 (y)。

现在我们需要维护每一个找到 (y) 的 (b_1=a_i)，询问时找出 (i<x, a_igeq b_4) 的 (a_i) 中，(i) 最大的一个。抽象一下，等于维护一个带权点集，支持插入新点和在一个包含左上角的矩阵中，询问权值最大的一个。

可以直接写一棵树套树，但是常数巨大，不一定能过。

注意到询问是两个前/后缀，因此可以用树状数组维护 (i)，set 维护 (a_i)。具体地，在树状数组的每个位置，维护一个 set<pair<int, int>>，其中 first 代表树状数组该位置对应区间内，某个元素的 (a_i) 的值，second 代表它的点权。由于询问的是 first 的一段后缀，有用的 second 必然也是单调的。插入 ((a_i, i)) 时暴力删掉无用元素即可。复杂度 (Oleft((n+q)log^2 n ight))，常数和代码量都较小（就算这样我也写了 3.3K……）。